**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=1-a$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _4\left(x^2+4\right)=\log _4(6 x-4)$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(1,-5)$ și $B(5,5)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la mijlocul segmentului $A B$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $A B C$, dreptunghic în $A$, cu $A C=6$ și $\operatorname{tg} C=\sqrt{3}$. Arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $18 \sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} 1-a & a \\ -3 a & 3 a+1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\operatorname{det}(A(2))=5$.

**5p** **b)** Arătați că $A(a)-I_2=a\left(A(1)-I_2\right)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Determinați numărul întreg $m$ pentru care $A(m) \cdot A(2 m)=A(1)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x y-x-y+4$.

**5p** **a)** Arătați că $0 \circ 3=1$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x=3 x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că $x \circ a=x+a$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^x\left(x^2+2 x-2\right)$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=e^x\left(x^2+4 x\right), x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=1$.

**5p** **c)** Demonstrați că $e^{x+4}\left(x^2+2 x-2\right) \leq 6$, pentru orice $x \in(-\infty, 0]$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+\frac{3}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right) d x=\frac{15}{4}$.

**5p** **b)** Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} f(x)$ este crescătoare.

**5p** **c)** Arătați că $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)} d x=\frac{\pi}{12 \sqrt{3}}$.

***