**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=(\sqrt{6})^2-2^2=$ **3p**

$=6-4=2$ **2p**

**2.** $a^2+1=1-a$, deci $a^2+a=0$ **3p**

$a=-1$ sau $a=0$ **2p**

**3.** $x^2+4=6x-4$, deci $x^2-6x+8=0$ **3p**

$x=2$ sau $x=4$, care convin **2p**

**4.** Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 5 moduri, deci se pot forma $3 \cdot 5=15$ numere **3p**

**5.** $x_M=3$ și $y_M=0$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$ **3p**

$OM=3$ **2p**

**6.** $\text{tg}C = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB = 6\sqrt{3}$ **3p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(2)=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2))=\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 7 \end{vmatrix}=(-1) \cdot 7-2 \cdot(-6)=$ **3p**

$=-7+12=5$ **2p**

**b)** $A(a)-I_2=\begin{pmatrix} -a & a \\ -3a & 3a \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$A(1)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow a(A(1)-I_2)=a\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$, deci $A(a)-I_2=a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**c)** $A(m) \cdot A(2m)=A(4m^2+3m)$, pentru orice număr întreg $m$ **3p**

$A(4m^2+3m)=A(1)$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m=-1$ **2p**

**2.a)** $0 \circ 3=0 \cdot 3-0-3+4=$ **3p**

$=0-3+4=1$ **2p**

**b)** $x \circ x=x^2-2x+4$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x^2-2x+4=3x \Leftrightarrow x^2-5x+4=0$, de unde obținem $x=1$ sau $x=4$ **3p**

**c)** $xa-x-a+4=x+a \Leftrightarrow xa-2x-2a+4=0$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x(a-2)-2a+4=0$ și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real $x$, obținem $a=2$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x \left( x^2 + 2x - 2 \right) + e^x (2x + 2) =$ **3p**

$= e^x \left( x^2 + 2x - 2 + 2x + 2 \right) = e^x \left( x^2 + 4x \right), \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x \left( x^2 + 2x - 2 \right)}{e^x \left( x^2 + 4x \right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x - 2}{x^2 + 4x} =$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left( 1 + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2} \right)}{x^2 \left( 1 + \frac{4}{x} \right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{4}{x}} = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -4$ sau $x = 0$; pentru $x \in (-\infty, -4] \Rightarrow f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -4]$ și, pentru $x \in [-4, 0] \Rightarrow f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-4, 0]$ **2p**

$f(x) \leq f(-4)$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ și $f(-4) = \frac{6}{e^4}$, deci $e^{x+4} \left( x^2 + 2x - 2 \right) \leq 6$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 \left( f(x) - \frac{3}{x} \right) dx = \int_1^2 x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right _1^2 =$ **3p**

$= \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ **2p**

**b)** $G$ este o primitivă a funcției $g \Rightarrow G'(x) = g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \left( x^3 + \frac{3}{x} \right), \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

$\frac{1}{\sqrt{x}} \left( x^3 + \frac{3}{x} \right) > 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$, deci funcția $G$ este crescătoare **3p**

**c)** $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)} dx = \int_1^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^4 + 3} dx = \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{3}} \frac{\left( x^2 \right)'}{\left( x^2 \right)^2 + 3} dx = \left. \frac{1}{2\sqrt{3}} \text{arctg} \frac{x^2}{\sqrt{3}} \right _1^{\sqrt{3}} =$ **3p**

$= \frac{1}{2\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{12\sqrt{3}}$ **2p**

***