**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(2-i)^2+i(4+i)=2$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f \circ f)(m)=2 m$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+1}-3 \cdot 5^x=10$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(0,4), B(3,-2)$ și $C(2 a, a)$, unde $a$ este număr real nenul. Arătați că dreptele $A B$ și $O C$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $a$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x)=\sin x+4 \cos \frac{x}{3} \sin \frac{2 x}{3}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{2}\right)=4$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2 a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} a x-y+2 a z=0 \\ x-2 y+a z=0 \\ x+y+(1-a) z=0 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=1$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

**5p** **c)** Pentru $a=-1$, determinați soluțiile $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ale sistemului pentru care $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=x^2 y^2-4(x+y)^2+1$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 1=-3$.

**5p** **b)** Arătați că $x *(-1) \leq 2 x$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale nenule, cu $m \leq n$, pentru care $m * n=1$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{5}-\ln \left(x^2+x+5\right)$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x^2-9 x}{5\left(x^2+x+5\right)}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $O x$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

**2.** Se consideră funcția $f:(-2,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{4 x}{x^3+8}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2\left(x^3+8\right) f(x) d x=8$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{4} x f(x) dx = 4 \ln 2$.

: :

**5p** **c)** Calculați $\lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int\limits_{0}^{x} t \cdot f(t) dt \right)$.