**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(2-i)^2+i(4+i)=4-4i+i^2+4i+i^2=$ **3p**

$=4-1-1=2$ **2p**

**2.** $(f \circ f)(m)=m+6$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$m+6=2m$, de unde obținem $m=6$ **2p**

**3.** $5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x = 10$, deci $2 \cdot 5^x = 10$, de unde obținem $5^x = 5$ **3p**

$x=1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Deoarece cifrele pot fi 7, 8 și 9, sunt $3 \cdot 3 = 9$ numere naturale de două cifre care au cifrele mai mari sau egale cu 7, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ **3p**

**5.** $m_{AB} = -2$ **2p**

$m_{OC} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real nenul $a$ și, cum $m_{AB} \cdot m_{OC} = (-2) \cdot \frac{1}{2} = -1$, obținem că dreptele $AB$ și $OC$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $a$ **3p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 4$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-1) = 1$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{vmatrix} = (a+1)^2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -1$, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ **3p**

**c)** Pentru $a = -1$, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma $(-\alpha, -\alpha, \alpha)$, cu $\alpha \in \mathbb{C}$ **2p**

$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3\alpha^2$, deci $3\alpha^2 = 3$, de unde obținem $\alpha = -1$ sau $\alpha = 1$, deci soluțiile sunt $(1, 1, -1)$ și $(-1, -1, 1)$ **3p**

***

**2.a)** $0 * 1 = 0^2 \cdot 1^2 - 4(0+1)^2 + 1 =$ **3p**

$= 0 - 4 + 1 = -3$ **2p**

**b)** $x * (-1) = -3x^2 + 8x - 3 =$ **2p**

$= -3x^2 + 6x - 3 + 2x = -3(x-1)^2 + 2x \le 2x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**c)** $m^2n^2 - 4(m+n)^2 + 1 = 1$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, obținem $mn - 2m - 2n = 0$ **2p**

$(m-2)(n-2) = 4$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, cu $m \le n$, perechile sunt $(3,6)$ și $(4,4)$ **3p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{2x+1}{x^2+x+5} =$ **3p**

$= \frac{x^2+x+5-10x-5}{5(x^2+x+5)} = \frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de coordonate $(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0$ **3p**

$a^2 - 9a = 0$, de unde obținem $a=0$ sau $a=9$ **2p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 0] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, 0]$; $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [0, 9] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[0, 9]$, deci $f(x) \le f(0)$, pentru orice $x \in (-\infty, 9]$ **2p**

$f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (9, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(9, +\infty)$ și, cum $f(0) = -\ln 5 < 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x) = 0$ are soluție unică **3p**

**2.a)** $\int_0^2 (x^3+8) f(x) dx = \int_0^2 4x dx = 2x^2 \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 8 - 0 = 8$ **2p**

**b)** $\int_1^4 x f(x) dx = \int_1^4 \frac{4x^2}{x^3+8} dx = \frac{4}{3} \int_1^4 \frac{(x^3+8)'}{x^3+8} dx = \frac{4}{3} \cdot \ln(x^3+8) \bigg _1^4 =$ **3p**

$= \frac{4}{3} \ln 8 = 4 \ln 2$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t) dt \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x t \cdot f(t) dt \right)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot f(x)}{3x^2} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{4}{3(x^3+8)} = \frac{1}{6}$ **2p**

***