**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $(1-0,2): 2+0,3 \cdot 2=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=g(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{x+3}=49^x$.

**5p** **4.** După o ieftinire cu $30\%$, un produs costă $210$ lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(2,-1)$. Arătați că triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $\sqrt{3} \sin 45^{\circ}+2 \sin 30^{\circ}-\sqrt{2} \cos 30^{\circ}=1$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2))=8$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

**5p** **c)** Arătați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $x+y=-1$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=4xy-3x+2y-1$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2=8$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * (-1)=4$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $x * a=-x$, pentru orice număr real $x$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1+\frac{8}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{2(x^2-4)}{x^2}$, $x \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(1-x) \geq f(1+x)$, pentru orice $x \in(0,1)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4x+2$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2(f(x)-4x) dx=12$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^1(f(x)-3x^2-2) e^x dx=4$.

**5p** **c)** Determinați $a \in(0,+\infty)$ pentru care $\int\limits_{-1}^0 a \cdot f'(x) \cdot (f(x))^{a-1} dx=63$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale