**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(1-0,2): 2+0,3 \cdot 2=0,8: 2+0,6=$ **3p**

$=0,4+0,6=1$ **2p**

**2.** $f(2)=0, g(2)=2+m$ **3p**

$0=2+m$, de unde obținem $m=-2$ **2p**

**3.** $7^{x+3}=7^{2x}$, de unde obținem $x+3=2x$ **3p**

$x=3$ **2p**

**4.** $x-\frac{30}{100} \cdot x=210$, unde $x$ este prețul înainte de ieftinire **3p**

$x=300$ de lei **2p**

**5.** $M(1,2)$, deci $OM=\sqrt{5}$ și $MB=\sqrt{10}$ **3p**

$OB=\sqrt{5}$, deci $MB^{2}=OB^{2}+OM^{2}$, de unde obținem că triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$ **2p**

**6.** $\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$\sqrt{3} \sin 45^{\circ}+2 \sin 30^{\circ}-\sqrt{2} \cos 30^{\circ}=\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2)=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2))=\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=4 \cdot 1-(-2) \cdot 2=$ **3p**

$=4+4=8$ **2p**

**b)** $A(0)=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A(0) \cdot A(0)=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ **3p**

$\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x=-2$ **2p**

**c)** $\det(A(x))=x^{2}+x+2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x^{2}+x+2=y^{2}+y+2 \Rightarrow(x-y)(x+y+1)=0$ și, cum $x$ și $y$ sunt numere reale distincte, obținem $x+y+1=0$, deci $x+y=-1$ **3p**

**2.a)** $1 * 2=4 \cdot 1 \cdot 2-3 \cdot 1+2 \cdot 2-1=$ **3p**

$=8-3+4-1=8$ **2p**

**b)** $x *(-1)=-7x-3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-7x-3=4 \Rightarrow-7x=7$, de unde obținem $x=-1$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $4ax - 3x + 2a - 1 = -x \Rightarrow 4ax - 2x + 2a - 1 = 0 \Rightarrow 2x(2a - 1) + 2a - 1 = 0$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$a = \frac{1}{2}$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2} =$ **3p**

$= \frac{2x^2 - 8}{x^2} = \frac{2(x^2 - 4)}{x^2}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(2) = 7, \ f'(2) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$, adică $y = 7$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2; \ f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 2] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(0, 2]$ **2p**

$0 < 1 - x < 1 + x < 2$, pentru orice $x \in (0, 1)$, de unde obținem $f(1 - x) \ge f(1 + x)$, pentru orice $x \in (0, 1)$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^2 (f(x) - 4x) dx = \int\limits_0^2 (3x^2 + 2) dx = (x^3 + 2x) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 2^3 + 2 \cdot 2 = 12$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^1 (f(x) - 3x^2 - 2) e^x dx = \int\limits_0^1 4xe^x dx = 4(x - 1)e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 0 + 4 = 4$ **2p**

**c)** $\int\limits_{-1}^0 a \cdot f'(x) \cdot (f(x))^{a-1} dx = (f(x))^a \bigg _{-1}^0 = 2^a - 1$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **3p**

$2^a - 1 = 63$, de unde obținem $a = 6$, care convine **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale