**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_2 = 7$ și $a_6 = 23$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 8x - 5$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a, 3a)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4 x + \log_4(3x) = \log_4 12$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\sqrt{n}$ să fie număr natural par.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3, 2)$, $B(1, 4)$ și $C(6, 0)$. Determinați distanța dintre mijloacele segmentelor $AB$ și $OC$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC = 16$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^\circ$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $32\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -3 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 9$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $B(3) \cdot B(4) = x B(1)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $B(a)$ este inversa matricei $C = \frac{1}{9} A$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 + X^2 + mX - 4$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m = 1$, arătați că $f(2) = 10$.

**5p** **b)** Pentru $m = -4$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $m$, polinomul $f$ **nu** are toate rădăcinile reale.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2}$, $x \in (-2, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

**2.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^3 \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}} \right) dx = 6$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^8 (f(x) - x - 1) dx = 4$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**5p** **c)** Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,3] \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, este egal cu $\pi\left(\frac{91}{3}+\ln 4\right)$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*