**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_6 = a_2 + 4r$, deci $4r = 16$, de unde obținem $r = 4$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice **3p**

$a_1 = a_2 - r = 7 - 4 = 3$ **2p**

**2.** $f(a) = 3a \Leftrightarrow 8a - 5 = 3a$ **3p**

$a = 1$ **2p**

**3.** $\log_4 \left( 3x^2 \right) = \log_4 12$, de unde obținem $3x^2 = 12$ **3p**

$x = -2$, care nu convine; $x = 2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale $n$, de două cifre, pentru care $\sqrt{n}$ este număr natural par sunt $16$, $36$ și $64$, deci sunt $3$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ **3p**

**5.** $M(-1,3)$ și $N(3,0)$, unde punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $OC$ **2p**

$MN = \sqrt{(3+1)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{25} = 5$ **3p**

**6.** $\sin B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AC}{16}$, deci $AC = 8$ **2p**

$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = 8\sqrt{3}$ și, cum $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}$, obținem $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) =$ **3p**

$= 3 + 6 = 9$ **2p**

**b)** $B(3) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $B(4) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow B(3) \cdot B(4) = \begin{pmatrix} 14 & -21 \\ 14 & 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 7 \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 7B(1)$, de unde obținem $x = 7$ **2p**

**c)** $C \cdot B(a) = \begin{pmatrix} \frac{-a+1}{3} & \frac{a+2}{3} \\ \frac{-2a-4}{9} & \frac{-a+7}{9} \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$C \cdot B(a) = B(a) \cdot C = I_2$, de unde obținem $a = -2$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**2.a)** $f = X^3 + X^2 + X - 4 \Rightarrow f(2) = 2^3 + 2^2 + 2 - 4 =$ **3p**

$= 8 + 4 + 2 - 4 = 10$ **2p**

**b)** $f = X^3 + X^2 - 4X - 4 \Rightarrow f = (X + 1)(X - 2)(X + 2)$ **2p**

Rădăcinile polinomului $f$ sunt $-2$, $-1$ și $2$ **3p**

**c)** $x_1 + x_2 + x_3 = -1$, $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = m \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 - 2m$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ **3p**

Cum $m$ este număr natural nenul, obținem $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 0$, deci polinomul $f$ **nu** are toate rădăcinile reale **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x - 2)(x + 2) - (x^2 - 2x + 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} =$ **3p**

$= \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 + 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2}$, $x \in (-2, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{e^x(x + 2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 2}{e^x(x + 3)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(x + 4)} = 0$ **2p**

**c)** $f''(x) = \frac{18}{(x + 2)^3}$, $x \in (-2, +\infty)$ **3p**

$f''(x) > 0$, pentru orice $x \in (-2, +\infty)$, de unde obținem că funcția $f$ este convexă **2p**

**2.a)** $\int_1^3 \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right) dx = \int_1^3 (x + 1) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _1^3 =$ **3p**

$= \frac{9}{2} + 3 - \frac{1}{2} - 1 = 6$ **2p**

**b)** $\int_0^8 (f(x) - x - 1) \, dx = \int_0^8 \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \, dx = 2 \int_0^8 (x + 1)' \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \, dx = 2\sqrt{x + 1} \bigg _0^8 =$ **3p**

$= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4$ **2p**

**c)** $V = \pi \int_0^3 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^3 \left( (x + 1)^2 + 2\sqrt{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right) dx =$ **2p**

$= \pi \int_0^3 (x + 1)' \left( (x + 1)^2 + 2\sqrt{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right) dx = \pi \left( \frac{(x + 1)^3}{3} + 4 \cdot \frac{(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + \ln(x + 1) \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \pi \left( \frac{64}{3} + \frac{32}{3} + \ln 4 - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \right) = \pi \left( \frac{91}{3} + \ln 4 \right)$

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale