**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2(1+i)-i(2-i)=1$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+10$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(2a, a)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2+2}=2x$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{0,1,2,3,4\}$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $B$ egală cu $\frac{\pi}{6}$ și $BC=24$. Bisectoarea unghiului $C$ al triunghiului $ABC$ intersectează latura $AB$ în punctul $D$. Determinați lungimea segmentului $CD$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 1 & -1 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0) \cdot A(x) = A(0)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(A(1))^{-1} = aA(1) + bI_3$, unde $(A(1))^{-1}$ este inversa matricei $A(1)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy + x + y - 1 + 2^{xy}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2 = 8$.

**5p** **b)** Arătați că $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n * \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x + 1 + \ln x}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = -\frac{\ln x}{x^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{\ln y}{y} - \frac{\ln x}{x} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$, pentru orice $x, y \in (1, +\infty)$ cu $x < y$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_3^5 (f(x) - x^3) dx = 8$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{2} \frac{x^2}{f(x)-x+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

**5p** **c)** Se consideră funcția $g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $G:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $g$ este concavă.

***

Simulare