**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2(1+i)-i(2-i)=2+2i-2i+i^2=$ **3p**

$=2-1=1$ **2p**

**2.** $f(2a)=a \Leftrightarrow 6a+10=a$ **3p**

$a=-2$ **2p**

**3.** $2x^2+2=4x^2$, de unde obținem $x^2-1=0$ **2p**

$x=-1$, care nu convine; $x=1$, care convine **3p**

**4.** Cifra unităților se poate alege în două moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în 4 moduri, deci se pot forma $2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ de numere **3p**

**5.** $\frac{a}{1} = \frac{a-1}{2}$ **3p**

$a=-1$ **2p**

**6.** $AC=12$; $\sphericalangle ACD = \frac{\pi}{6}$ **3p**

$\frac{AC}{CD} = \cos \frac{\pi}{6}$, de unde obținem $CD=8\sqrt{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \cdot 2 - 0 \cdot (-1) \cdot 2 =$ **3p**

$= 4+0+0-1-0-0=3$ **2p**

**b)** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $A(0) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x+2 & -x-2 & x+2 \\ 0 & 0 & 0 \\ x+2 & -x-2 & x+2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$x=-1$ **2p**

**c)** $(A(1))^{-1} = aA(1) + bI_3 \Leftrightarrow aA(1) \cdot A(1) + bA(1) = I_3$ și $A(1) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix}$, de unde **3p**

obținem $\begin{pmatrix} 5a+2b & -4a-b & 4a+b \\ 0 & a+b & 0 \\ 4a+b & -4a-b & 5a+2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$a = -\frac{1}{3}$ și $b = \frac{4}{3}$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * 2 = 1 \cdot 2 + 1 + 2 - 1 + 2^{1 \cdot 2} =$ **3p**

$= 4 + 4 = 8$ **2p**

**b)** $x * 0 = x \cdot 0 + x + 0 - 1 + 2^{x \cdot 0} = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$0 * x = 0 \cdot x + 0 + x - 1 + 2^{0 \cdot x} = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $n * \left( -\frac{1}{n} \right) = \frac{2n^2 - 3n - 2}{2n}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$\frac{2n^2 - 3n - 2}{2n} = 0 \Rightarrow 2n^2 - 3n - 2 = 0$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 2$ **3p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = \frac{\left( 2 + \frac{1}{x} \right) \cdot x - (2x + 1 + \ln x)}{x^2} =$ **3p**

$= \frac{2x + 1 - 2x - 1 - \ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1 + \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 2 + \frac{1}{x} \right) = 2$ **3p**

Ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este $y = 2$ **2p**

**c)** $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(1, +\infty)$ **2p**

$1 < x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$, deci $\frac{\ln y}{y} - \frac{\ln x}{x} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$, pentru orice $x, y \in (1, +\infty)$ cu $x < y$ **3p**

**2.a)** $\int_3^5 (f(x) - x^3) \, dx = \int_3^5 x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg _3^5 =$ **3p**

$= \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8$ **2p**

**b)** $\int_0^2 \frac{x^2}{f(x) - x + 2} \, dx = \int_0^2 \frac{x^2}{x^3 + 2} \, dx = \frac{1}{3} \int_0^2 \frac{(x^3 + 2)'}{x^3 + 2} \, dx = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 2) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{\ln 10}{3} - \frac{\ln 2}{3} = \frac{\ln 5}{3}$ **2p**

**c)** $g(x) = (x^2 + 1)e^{-x}$ și $G'(x) = g(x)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$, deci $G''(x) = (-x^2 + 2x - 1)e^{-x}$ **3p**

$G''(x) = -(x - 1)^2 e^{-x} \le 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$, deci funcția $G$ este concavă **2p**

***

Simulare