**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numerele $5-2\sqrt{6}$, $1$ și $5+\sqrt{24}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=ax+1$, unde $a$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(f \circ f)(1)=1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^x \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}=32$.

**5p** **4.** Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii $M=\{0,1,2,3,4\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(2,5)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $B$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $(\operatorname{tg} x+1)(\operatorname{ctg} x-1)=2\operatorname{ctg} 2x$, pentru orice $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax+y+(a+1)z=a \\ x+ay-z=4 \\ 2x-ay+4z=-4 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=-9$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

**5p** **c)** Arătați că, dacă sistemul are soluția unică $(x_0, y_0, z_0)$, atunci $x_0+y_0+z_0=2$.

**2.** Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+2X+m$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m=6$, arătați că $f(-1)=0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X^2+2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $x \in (-1,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x)-x \leq \sqrt{\frac{e}{2}}$, pentru orice $x \in (-1,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^2 (f(x)-x\ln x) \, dx=7$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{e} \frac{f(x)}{x^3} \, dx = 2\left( 1 - \frac{1}{e} \right)$.

: :

**5p** **c)** Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:[1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{x+1}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria strict mai mare decât $1$.