**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(5-2\sqrt{6})(5+\sqrt{24}) = (5-\sqrt{24})(5+\sqrt{24}) = 5^2 - \sqrt{24}^2 =$ **3p**

$= 25 - 24 = 1^2$, deci numerele $5-2\sqrt{6}$, $1$ și $5+\sqrt{24}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice **2p**

**2.** $f(1) = a+1$, $(f \circ f)(1) = a(a+1)+1$, pentru orice număr real nenul $a$ **3p**

$a(a+1)+1 = 1$, deci $a(a+1) = 0$ și, cum $a$ este număr real nenul, obținem $a = -1$ **2p**

**3.** $2^x \cdot 2^{-4+2x} = 32 \Rightarrow 2^{3x-4} = 2^5$, de unde obținem $3x-4 = 5$ **3p**

$x = 3$ **2p**

**4.** $A_5^2 = \frac{5!}{3!} =$ **3p**

$= 4 \cdot 5 = 20$ **2p**

**5.** $m_{AB} = 1$ și, cum $d \perp AB$, obținem $m_d = -1$ **3p**

Ecuația dreptei $d$ este $y-5 = -1(x-2)$, adică $y = -x+7$ **2p**

**6.** $(\text{tg } x + 1)(\text{ctg } x - 1) = \left( \frac{\sin x}{\cos x} + 1 \right) \left( \frac{\cos x}{\sin x} - 1 \right) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x \sin x} =$ **2p**

$= \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2\text{ctg} 2x$, pentru orice $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$. **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 4 = -9$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{vmatrix} = -3a - 6$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2$; sistemul de ecuații are soluție unică $\Leftrightarrow a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ **3p**

**c)** Adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem $x_0 + z_0 = 0$ **2p**

$y_0 + z_0 = a$, $ay_0 - 2z_0 = 4$, deci $(a+2)(y_0 - 2) = 0$ și, cum $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$, obținem $y_0 = 2$, deci $x_0 + y_0 + z_0 = 2$ **3p**

**2.a)** $f = X^3 - 3X^2 + 2X + 6 \Rightarrow f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 6 =$ **3p**

$= -1 - 3 - 2 + 6 = 0$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**b)** $f=(X-3)\left(X^{2}+2\right)+6+m$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$f$ este divizibil cu polinomul $g$ dacă $6+m=0$, de unde obținem $m=-6$ **2p**

**c)** $x_{1}+x_{2}+x_{3}=3$ și $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}=2$, deci $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5$ și $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=9-3 m$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$9-3 m=0$, deci $m=3$ **2p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f^{\prime}(x)=1+\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot e^{x}-\sqrt{x+1} \cdot e^{x}}{e^{2 x}}=$ **3p**

$=1+\frac{1-2 x-2}{2 e^{x} \sqrt{x+1}}=1-\frac{2 x+1}{2 e^{x} \sqrt{x+1}}, x \in(-1,+\infty)$ **2p**

**b)** $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{e^{x}} \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\right)=1$ **2p**

$\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 e^{x} \sqrt{x+1}}=0$, deci dreapta de ecuație $y=x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $g:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f(x)-x \Rightarrow g^{\prime}(x)=-\frac{2 x+1}{2 e^{x} \sqrt{x+1}} ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ **2p**

$g^{\prime}(x) \geq 0$ pentru orice $x \in\left(-1,-\frac{1}{2}\right] \Rightarrow g$ este crescătoare pe $\left(-1,-\frac{1}{2}\right], g^{\prime}(x) \leq 0$ pentru orice $x \in\left[-\frac{1}{2},+\infty\right) \Rightarrow g$ este descrescătoare pe $\left[-\frac{1}{2},+\infty\right)$, deci $g(x) \leq g\left(-\frac{1}{2}\right)$ pentru orice $x \in(-1,+\infty)$ și, cum $g\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{e}{2}}$, obținem $f(x)-x \leq \sqrt{\frac{e}{2}}$, pentru orice $x \in(-1,+\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_{1}^{2} 3(f(x)-x \ln x) d x=\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x=\left.x^{3}\right _{1} ^{2}=$ **3p**

$=8-1=7$ **2p**

**b)** $\int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x^{3}} d x=\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x+\int_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x}\right)^{\prime} \ln x d x=\ln x\left _{1} ^{e}-\frac{\ln x}{x}\right _{1} ^{e}+\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x=$ **3p**

$=1-\frac{1}{e}-\left.\frac{1}{x}\right _{1} ^{e}=2-\frac{2}{e}=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$ **2p**

**c)** $g(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x \ln x} \geq 0$, pentru orice $x \in[1, e]$, deci $\mathcal{A}=\int_{1}^{e} g(x) d x=\int_{1}^{e} \frac{x+1}{x^{2}+x \ln x} d x=$ **2p**

$=\int_{1}^{e}\left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x+\ln x} d x=\int_{1}^{e}(x+\ln x)^{\prime} \cdot \frac{1}{x+\ln x} d x=\left.\ln (x+\ln x)\right _{1} ^{e}=\ln (e+1)>\ln e=1$ **3p**

***

Model