**Examenul de bacalaureat naţional 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Simulare**

**Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{6})+2\sqrt{3}=4$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Determinați numărul real pozitiv $a$ pentru care $f(a)$ este media geometrică a numerelor $f(0)$ și $f(4)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 \cdot 3^{x+1}=18$.

**5p** **4.** Prețul unui produs este 300 de lei. După o scumpire cu $p \%$ prețul produsului devine 360 de lei. Calculați $p$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$, $B(1,1)$ și $C(3,m)$. Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $C$ aparține dreptei $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=6$ și măsura unghiului $C$ este egală cu $60^{\circ}$. Arătați că $BC=4\sqrt{3}$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \frac{1}{3}xy - x - y + 6$.

**5p** **1.** Arătați că $1 \circ (-3) = 7$.

**5p** **2.** Arătați că $e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația $\sqrt{x} \circ 6 = 1$.

**5p** **4.** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 \circ n < (2n) \circ 1 + 1$.

**5p** **5.** Demonstrați că $x \circ y = \frac{1}{3} \cdot (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **6.** Calculați $\sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \dots \circ \sqrt{2023}$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real.

**5p** **1.** Arătați că $A \cdot A = 5I_2$.

**5p** **2.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(B(a)+A) = 0$.

**5p** **3.** Demonstrați că $B(q-1)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $q$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $B(a) \cdot B(a) = B\left(\frac{5}{4}\right)$.

**5p** **5.**