**Examenul de bacalaureat naţional 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

**Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} + 2\frac{1}{2} = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)$ este media aritmetică a numerelor $f(1)$ și $f(5)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\sqrt{x-1} + 3 = 5$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M = \{1, 2, 3, \dots, 2022\}$, acesta să fie multiplu de 2.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(-2,-1)$ și $C(1,-1)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

**5p** **6.** Lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ este 5, iar $BC = 10$. Calculați $\sin A$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = xy + 8(x + y) + 56$.

**5p** **1.** Arătați că $(-5) \circ (-6) = -2$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x \circ y = (x + 8)(y + 8) - 8$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e = -7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **4.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x \circ (x + 2) \le -8$.

**5p** **5.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^x \circ (-7) = 16$.

**5p** **6.** Determinați numărul real $a$ pentru care $2(a \circ 1) = a + (a \circ 2)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $M(x) = I_2 + xA$, unde $x$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = -6$.

**5p** **2.** Demonstrați că $M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 3x \\ 2x & x + 1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Arătați că suma elementelor matricei $B$ este pătratul unui număr natural, unde $B = (-1) \cdot M(-1) \cdot M(1)$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(M(x)) = 0$.

**5p** **5.** Arătați că matricea $C$ este inversabilă, unde $C = M(1) - M(2) + M(3) - M(4)$.

**5p** **6.** Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care $aM(b) + bM(a) = I_2$.

***

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Model