**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** ${\left( \frac{2}{5} \right)}^{-1} = \frac{5}{2}$, $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ **3p**

${\left( \frac{2}{5} \right)}^{-1} + 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$ **2p**

**2.** $f(a) = a + 1$, $f(1) = 2$, $f(5) = 6$ **3p**

$a + 1 = \frac{2 + 6}{2}$, de unde obținem $a = 3$ **2p**

**3.** $2\sqrt{x - 1} = 2$, de unde obținem $x - 1 = 1$ **3p**

$x = 2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $M$ are $2022$ de elemente, deci sunt $2022$ de cazuri posibile **2p**

Multiplii de $2$ din $M$ sunt $2 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, $2 \cdot 3$, $\dots$, $2 \cdot 1011$, deci sunt $1011$ cazuri favorabile **3p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{2}$

**5.** $BC = 3$, $AC = 4$, $AB = 5$ **3p**

$BC^2 + AC^2 = AB^2$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ **2p**

**6.** $\frac{10}{\sin A} = 2 \cdot 5$ **3p**

$\sin A = 1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-5) \circ (-6) = (-5) \cdot (-6) + 8(-5 - 6) + 56 =$ **3p**

$= 30 - 88 + 56 = -2$ **2p**

**2.** $x \circ y = xy + 8x + 8y + 64 - 8 =$ **3p**

$= x(y + 8) + 8(y + 8) - 8 = (x + 8)(y + 8) - 8$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $x \circ (-7) = (x + 8)(-7 + 8) - 8 = x + 8 - 8 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$(-7) \circ x = (-7 + 8)(x + 8) - 8 = x + 8 - 8 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = -7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**4.** $x \circ (x + 2) = (x + 8)(x + 10) - 8$ **2p**

$(x + 8)(x + 10) - 8 \le -8 \Leftrightarrow (x + 8)(x + 10) \le 0$, de unde obținem $x \in [-10, -8]$ **3p**

**5.** $2^x \circ (-7) = 2^x$ **3p**

$2^x = 2^4$, de unde obținem $x = 4$ **2p**

**6.** $a \circ 1 = 9a + 64$, $a \circ 2 = 10a + 72$ **3p**

$18a + 128 = 11a + 72$, de unde obținem $a = -8$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot 3 =$ **3p**

$= 0 - 6 = -6$ **2p**

**2.** $M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3x \\ 2x & x \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & 3x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**3.** $M(-1) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -2 & -6 \end{pmatrix}$, $B = (-1) \cdot M(-1) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ **3p**

$5 + 3 + 2 + 6 = 16$, care este pătratul numărului natural $4$ **2p**

**4.** $\det(M(x)) = x + 1 - 6x^2$ **2p**

$6x^2 - x - 1 = 0$, deci $x = -\frac{1}{3}$ sau $x = \frac{1}{2}$ **3p**

**5.** $C = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$ **3p**

$\det C = -24 \neq 0$, deci matricea $C$ este inversabilă **2p**

**6.** $aM(b) + bM(a) = \begin{pmatrix} a & 3ab \\ 2ab & ab+a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 3ab \\ 2ab & ab+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & 6ab \\ 4ab & 2ab+a+b \end{pmatrix}$ **2p**

$\begin{pmatrix} a+b & 6ab \\ 4ab & 2ab+a+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, de unde obținem perechile de numere naturale $(0,1)$ și $(1,0)$ **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare