**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 1 + 2i$ și $z_2 = 1 - i$. Arătați că $z_1^2 + 4z_2 = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 1$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2 + x + m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg(x^2 + 9) = 2\lg(x\sqrt{10})$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizibil cu $9$.

**5p** **5.** În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, iar punctele $D$ și $E$ aparțin segmentului $AB$, astfel încât $AD = BE$. Arătați că $\vec{MD} + \vec{ME} = \vec{CB}$.

**5p** **6.** Determinați $x \in [0, \pi]$ pentru care $\sin 2x = 1 + \cos 2x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y + 2z = -2 \\ x + ay - z = 4 \\ 2x + 2y + z = 2 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 1$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

**5p** **c)** Pentru $a = 1$, determinați soluțiile $(x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi și $x_0 > y_0 > z_0$.

**2.** Pe mulțimea $M = [-1, 1]$ se definește legea de compoziție $x * y = \frac{xy}{1 + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

**5p** **b)** Arătați că $x * (-x) \ge -x^2$, pentru orice $x \in M$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(a, b)$ de numere din mulțimea $M$ pentru care $a * b = 1$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 1 - \ln(e^x + x^2)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x(x - 2)}{e^x + x^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de coordonate $(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

***

**2.** Se consideră funcția $f:(-3,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+3}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{3} f(x) \sqrt{x+3} d x=12$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{-2}^{1} \frac{f(x)}{x^{2}+1} d x=2$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} d x \leq \frac{\pi}{2}$.

Simulare