**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z_1^2 + 4z_2 = (1+2i)^2 + 4(1-i) = 1 + 4i + 4i^2 + 4 - 4i =$ **3p**

$= 5 + 4 \cdot (-1) = 5 - 4 = 1$ **2p**

**2.** $f(x) = g(x) \Rightarrow x^2 - 2x + m - 1 = 0$ **2p**

$\Delta = 0$ și, cum $\Delta = 8 - 4m$, obținem $8 - 4m = 0$, deci $m = 2$ **3p**

**3.** $\lg(x^2 + 9) = \lg(10x^2) \Rightarrow x^2 + 9 = 10x^2$, de unde obținem $x^2 - 1 = 0$ **3p**

$x = -1$, care nu convine; $x = 1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile **2p**

Numerele din mulțimea $A$, divizibile cu 9, sunt $9 \cdot 0$, $9 \cdot 1$, $9 \cdot 2$, ... $9 \cdot 11$, deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$ **3p**

**5.** $\vec{MD} = \vec{MA} + \vec{AD}$ și $\vec{ME} = \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BE}$ **2p**

$\vec{MD} + \vec{ME} = \vec{MA} + \vec{MC} + \vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CB} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{CB} = \vec{CB}$ **3p**

**6.** $2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x \Leftrightarrow 2 \cos x (\sin x - \cos x) = 0$ **2p**

Cum $x \in [0, \pi]$, obținem $x = \frac{\pi}{2}$ sau $x = \frac{\pi}{4}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 \cdot 0 =$ **3p**

$= 0 - 2 + 4 - 0 - 1 - 0 = 1$ **2p**

**b)** $\det(A(a)) = (a-1)^2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = 1$, deci sistemul are soluție unică pentru $a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ **2p**

**c)** Pentru $a = 1$, soluțiile sistemului de ecuații sunt $(\alpha, 2-\alpha, -2)$, unde $\alpha \in \mathbb{C}$ **2p**

Cum $\alpha$ este număr întreg și $\alpha > 2 - \alpha > -2$, obținem $\alpha = 2$ sau $\alpha = 3$, deci soluțiile sunt $(2, 0, -2)$ și $(3, -1, -2)$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \sqrt{(1 - 1^2)\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)}} =$ **3p**

$= \frac{\frac{1}{2}}{1 + \sqrt{0}} = \frac{1}{2}$ **2p**

**b)** $x * (-x) = \frac{-x^2}{1 + 1 - x^2 } = \frac{-x^2}{2 - x^2}$, pentru orice $x \in M$ **3p**

$(x * (-x)) + x^2 = \frac{x^2(1 - x^2)}{2 - x^2} \geq 0$, deci $x * (-x) \geq -x^2$, pentru orice $x \in M$ **2p**

**c)** $a * b = 1 \Rightarrow \sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)} = ab - 1$, deci $ab \geq 1$ **3p**

Cum $a, b \in M$, obținem $ab = 1$, deci perechile sunt $(-1, -1)$ și $(1, 1)$, care convin **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 - \frac{1}{e^x + x^2} \cdot (e^x + 2x) =$ **3p**

$= \frac{x^2 - 2x}{e^x + x^2} = \frac{x(x - 2)}{e^x + x^2}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de coordonate $(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0$ **3p**

$\frac{a(a - 2)}{e^a + a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ sau $a = 2$ **2p**

**c)** Pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, $f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, 0]$; pentru orice $x \in [0, 2]$, $f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$; pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$ **2p**

Cum $f$ este continuă, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $f(0) = -1$ și $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -1$, imaginea funcției $f$ este $(-\infty, -1]$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^3 f(x)\sqrt{x + 3} \, dx = \int\limits_0^3 (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= 9 + 3 = 12$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-2}^1 \frac{f(x)}{x^2 + 1} \, dx = \int\limits_{-2}^1 \frac{(x + 3)'}{\sqrt{x + 3}} \, dx = 2\sqrt{x + 3} \bigg _{-2}^1 =$ **3p**

$= 4 - 2 = 2$ **2p**

**c)** $\frac{1}{f(x)} = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 + 1} \leq \frac{2}{x^2 + 1}$, pentru orice $x \in [0, 1]$, de unde obținem $\int\limits_0^1 \frac{1}{f(x)} \, dx \leq 2 \int\limits_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx =$ **3p**

$= 2\text{arctg}x \bigg _0^1 = \frac{\pi}{2}$ **2p**

***