**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a-b+(a+b)i=4$, de unde obținem $a-b=4$ și $a+b=0$ **3p**

$a=2$ și $b=-2$ **2p**

**2.** $m(m-x)^2-2(m-x)+m=m(m+x)^2-2(m+x)+m \Rightarrow x(m^2-1)=0$ și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real $x$, obținem $m^2-1=0$ **3p**

$m=-1$ sau $m=1$, care convin **2p**

**3.** $\log_2(2x^2)=\log_2(x^2+x+2)$, de unde obținem $x^2-x-2=0$ **3p**

$x=-1$, care nu convine; $x=2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $F$ are $4^4=256$ de elemente, deci sunt $256$ de cazuri posibile **2p**

Pentru fiecare $n \in A$, $f(n)$ se poate alege în $n$ moduri, deci sunt $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ de cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}$ **3p**

**5.** $\vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$, de unde obținem $\vec{CM} = \vec{OC}$, deci punctul $C$ este mijlocul segmentului $OM$ **3p**

Cum $x_M = 2$ și $y_M = 4$, obținem $x_C = 1$ și $y_C = 2$ **2p**

**6.** $\frac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 8$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ **2p**

Triunghiul $OAB$ este echilateral cu latura egală cu $8$, deci distanța de la punctul $O$ la latura $AB$ este $OM = 4\sqrt{3}$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 3 + 4 + 0 + 4 - 6 - 0 = 5$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 3 & a & -2 \\ 2a+1 & 1-a & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 5(1+a)(1-a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -1$ sau $a = 1$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Model

**c)** Pentru $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numerele reale $b$ și $c$; pentru $a \in \{-1,1\}$, $\begin{vmatrix} a & -2 \\ 1-a & -1 \end{vmatrix} \neq 0$, deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă $\begin{vmatrix} -1 & -2 & b \\ 2 & -1 & c \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ și $\begin{vmatrix} 1 & -2 & b \\ 0 & -1 & c \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ **3p**

$b=2$ și $c=1$ **2p**

**2.a)** $f(-1) = (-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 8 =$ **3p**

$= 1 - a + a - 8 - 8 = -15$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**b)** Restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g$ este egal cu $(a+8)X + a-7$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$(a+8)X + a-7 = 15X$, de unde obținem $a=7$ **2p**

**c)** Presupunând că rădăcinile $x_1, x_2, x_3, x_4$ ale polinomului $f$ sunt numere întregi, cum $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a$, obținem că $a \in \mathbb{Z}$ **2p**

$x_1 x_2 x_3 x_4 = -8 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 8$, de unde obținem că cel puțin o rădăcină a polinomului $f$ are modulul egal cu $1$ și, cum $f(-1) \neq 0$ pentru orice număr real $a$, obținem $f(1) = 0$, deci $a = -\frac{1}{2}$, ceea ce este fals, deci polinomul $f$ **nu** are toate rădăcinile numere întregi **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = -1 - 4x^3 \text{arctg} \, x - (x^4 - 1) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} =$ **3p**

$= -1 - 4x^3 \text{arctg} \, x - x^2 + 1 = -x^2 (4x \text{arctg} \, x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(x_0, f(x_0))$ este paralelă cu axa $Ox \Leftrightarrow f'(x_0) = 0$ **2p**

$-x_0^2 (4x_0 \text{arctg} \, x_0 + 1) = 0$ și, cum $x_0 \text{arctg} \, x_0 \geq 0$ pentru orice $x_0 \in \mathbb{R}$, obținem $x_0 = 0$, deci ecuația tangentei la graficul funcției $f$ care este paralelă cu axa $Ox$ este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci funcția $f$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$ și, cum $f(0) = 1$ și $f(1) = 0$, obținem $0 \leq f(x) \leq 1$, pentru orice $x \in [0,1]$ **2p**

Pentru $g : [0,1] \to \mathbb{R}$, $g(x) = \text{tg} \, x - x$, $g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \geq 0$, pentru orice $x \in [0,1]$, deci $g$ este crescătoare, de unde obținem $\text{tg} \, x \geq x$, pentru orice $x \in [0,1]$, deci $\text{tg}(f(x)) \geq f(x) \geq f(\text{tg} \, x)$, pentru orice $x \in [0,1]$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^3 (1 + e^{-x}) f(x) dx = \int\limits_0^3 (x^2 + e^x) dx = \left( \frac{x^3}{3} + e^x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \frac{27}{3} + e^3 - 0 - 1 = 8 + e^3$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-m}^m \frac{f(x)}{x^2 + e^x} dx = \int\limits_{-m}^m \frac{1}{1 + e^{-x}} dx = \int\limits_{-m}^m \frac{(e^x + 1)'}{e^x + 1} dx =$ **3p**

$= \ln(1 + e^x) \bigg _{-m}^m = \ln(1 + e^m) - \ln\left( \frac{1 + e^m}{e^m} \right) = \ln e^m = m$, pentru orice $m \in (0, +\infty)$ **2p**

***

**c)** $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^{ax}-1} \int\limits_0^x f(t) dt \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int\limits_0^x f(t) dt \right)'}{\left( e^{ax}-1 \right)'} =$ **2p**

$\displaystyle = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{ae^{ax}} = \frac{1}{2a}$, de unde obținem $\displaystyle \frac{1}{2a} = 1$, deci $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, care convine **3p**

***

Model