**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 7**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $1,5 + 3 \cdot (1 - 0,5) = 3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5 - x$. Arătați că $f(0) - f(1) = 1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x - 8} = 1$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, acesta să verifice inegalitatea $2n \ge 9$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$, $B(1,2)$ și $C(4,1)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $50$ și $AC = 5$. Arătați că lungimea laturii $AB$ este egală cu $20$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -x & 2 - x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $3A(2) + A(6) = 4A(3)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x) \cdot A(x) = 2A(x)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy + 2x - y - 1$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 1 = 1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 2 = x$.

**5p** **c)** Arătați că $(1 - x) * x \le 2$, pentru orice număr real $x$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + \frac{2}{e^x} - 1$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $m$ și $n$, știind că dreapta $d$ de ecuație $y = mx + n$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4x^3 + 3x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^2 (f(x) - 3x) dx = 15$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_2^5 \frac{1}{f(x) - 4x^3 + 3} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

**5p** **c)** Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g: [1, 2] \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x}$ este egal cu $2\pi f(3)$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale