**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $1,5 + 3 \cdot (1 - 0,5) = 1,5 + 3 \cdot 0,5 =$ **3p**

$= 1,5 + 1,5 = 3$ **2p**

**2.** $f(0) = 5$ **2p**

$f(1) = 4$, deci $f(0) - f(1) = 5 - 4 = 1$ **3p**

**3.** $3x - 8 = 1$ **3p**

$x = 3$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are $5$ elemente, deci sunt $5$ cazuri posibile **2p**

Numerele $n$, din mulțimea $A$, pentru care $2n \ge 9$ sunt $5$, $7$ și $9$, deci sunt $3$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{3}{5}$ **3p**

**5.** $AC = \sqrt{10}$ **2p**

$BC = \sqrt{10}$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} \Rightarrow 50 = \frac{AB \cdot 5}{2}$ **3p**

$AB = \frac{2 \cdot 50}{5} = 20$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 1 + 1 = 2$ **2p**

**b)** $3A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ -12 & -4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 4 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = 4A(3)$ **2p**

**c)** $A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x^2 - x & 2 \\ -2x & x^2 - 5x + 4 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\begin{pmatrix} x^2 - x & 2 \\ -2x & x^2 - 5x + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2 \\ -2x & 4 - 2x \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 3$ **3p**

**2.a)** $1 * 1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 - 1 =$ **3p**

$= 1 + 2 - 1 - 1 = 1$ **2p**

**b)** $x * 2 = 4x - 3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$4x - 3 = x$, de unde obținem $x = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $(1-x) * x = -x^2 - 2x - 1 + 2 =$ **3p**

$= -(x+1)^2 + 2 \le 2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2 - 2e^{-x} = 2 - \frac{2}{e^x} =$ **3p**

$= \frac{2e^x - 2}{e^x} = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(0) = 1, \ f'(0) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + \frac{2}{e^x} - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 2 + \frac{2}{xe^x} - \frac{1}{x} \right) = 2$, deci $m = 2$ **3p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2}{e^x} - 1 \right) = -1$, deci $n = -1$ **2p**

**2.a)** $\int_1^2 (f(x) - 3x) dx = \int_1^2 4x^3 dx = x^4 \bigg _1^2 =$ **3p**

$= 16 - 1 = 15$ **2p**

**b)** $\int_2^5 \frac{1}{f(x) - 4x^3 + 3} dx = \frac{1}{3} \int_2^5 \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{3} \ln(x+1) \bigg _2^5 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} (\ln 6 - \ln 3) = \frac{1}{3} \ln 2$ **2p**

**c)** $g(x) = 5x^2 + 3, \ x \in [1,2]$, deci $\mathcal{V} = \pi \int_1^2 (25x^4 + 30x^2 + 9) dx = \pi (5x^5 + 10x^3 + 9x) \bigg _1^2 = 234\pi$ **3p**

$f(3) = 4 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3 = 117$, deci $\mathcal{V} = 2\pi f(3)$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*