**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $3-4i+i(4-i)=4$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=4-2x$. Arătați că $(f \circ f)(1)=0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(x^2-2x+6)=\log_5 6$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $7$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(a,0)$ și $C(0,b)$. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10$ și $BC=16$. Arătați că $AD=6$, unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 2x+1 \\ x-1 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(B(2))=4$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $B(0) \cdot B(1) = aA$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot B(x) = A \cdot (B(0) - 3I_2)$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 + 2X^2 + mX - 3$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m=0$, arătați că $f(1)=0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) = x_1x_2x_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{3x^2}{x^2+x-2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $x \in (1, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x) + f(x^2) \ge \dfrac{17}{3}$, pentru orice $x \in (1, 2]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x(x-1)^2$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle \int_3^7 \frac{f(x)}{(x-1)^2} \, dx = 20$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{x}{f(x)} \, dx = \frac{1}{2}$.

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{x f\left(e^{x}\right)}{e^{x}} d x=\frac{e^{2}-5}{4}$.