**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $3-4i+i(4-i)=3-4i+4i-i^2=$ **3p**

$=3+1=4$ **2p**

**2.** $f(1)=2$ **2p**

$(f \circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=0$ **3p**

**3.** $x^2-2x+6=6$, deci $x^2-2x=0$ **2p**

$x=0$ sau $x=2$, care convin **3p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $4$ numere divizibile cu $3$ și cu $7$, deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$ **3p**

**5.** $A\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right)$ **3p**

$a=2$ și $b=4$ **2p**

**6.** Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$ și $BD=8$ **3p**

$AD = \sqrt{100-64} = 6$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $B(2) = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(2)) = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - 5 \cdot 1 =$ **3p**

$= 9 - 5 = 4$ **2p**

**b)** $B(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = 2A$ **3p**

$aA = 2A$, de unde obținem $a=2$ **2p**

**c)** $A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 3x-1 & 6x-1 \\ -3x+1 & -6x+1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$, $A \cdot (B(0)-3I_2) = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ **3p**

$\begin{pmatrix} 3x-1 & 6x-1 \\ -3x+1 & -6x+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x=-1$ **2p**

**2.a)** $f = X^3 + 2X^2 - 3 \Rightarrow f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 =$ **3p**

$= 1 + 2 - 3 = 0$ **2p**

**b)** $f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + m(-1) - 3 = -m - 2$ **3p**

$-m - 2 = 0$, de unde obținem $m = -2$ **2p**

**c)** $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) = f(1) = m$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$x_1x_2x_3 = 3$, deci $m = 3$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{6x(x^2+x-2) - 3x^2(2x+1)}{(x^2+x-2)^2} =$ **3p**

$= \frac{3x^2-12x}{(x^2+x-2)^2} = \frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}, \ x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2+x-2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = 3$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=3$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (1, 4] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(1, 4]$ **2p**

$1 < x \le 2 \Rightarrow 1 < x^2 \le 4$, deci $f(x) \ge f(2)$ și $f(x^2) \ge f(4)$ și, cum $f(2) = 3$ și $f(4) = \frac{8}{3}$, obținem $f(x) + f(x^2) \ge \frac{17}{3}$, pentru orice $x \in (1, 2]$ **3p**

**2.a)** $\int_3^7 \frac{f(x)}{(x-1)^2} dx = \int_3^7 x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg _3^7 =$ **3p**

$= \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = 20$ **2p**

**b)** $\int_2^3 \frac{x}{f(x)} dx = \int_2^3 \frac{(x-1)'}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{x-1} \bigg _2^3 =$ **3p**

$= -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \frac{xf(e^x)}{e^x} dx = \int_0^1 x(e^x-1)^2 dx = \int_0^1 x \left( \frac{e^{2x}}{2} - 2e^x \right)' dx + \frac{x^2}{2} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= x \left( \frac{e^{2x}}{2} - 2e^x \right) \bigg _0^1 - \left( \frac{e^{2x}}{4} - 2e^x \right) \bigg _0^1 + \frac{1}{2} = \frac{e^2-5}{4}$ **2p**

***