**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 7**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{50}-5(\sqrt{2}-1)=5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+a$, unde $a$ este număr real. Arătați că $f(1)=f(2)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x+2)=\log_3(4-x)$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3, a)$, $B(1,0)$ și $C(5,2)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin 30^{\circ}+\sqrt{2} \cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}=2$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=3(4-x-y)+xy$.

**5p** **1.** Arătați că $3 * 0=3$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Arătați că $\displaystyle \frac{7}{3}$ este simetricul lui $\displaystyle \frac{3}{2}$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

**5p** **5.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x * 3^x=3$.

**5p** **6.** Calculați $3 * 4 * 5 * \ldots * 2023$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(a)=\begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(B(0))=-1$.

**5p** **2.** Arătați că $A \cdot A=5 I_2$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(B(a)+A)=0$.

**5p** **4.** Determinați numărul real $a$ pentru care $B(a) \cdot B(-2)=B(0)-I_2$.

**5p** **5.** Demonstrați că matricea $B(a-1)$ este inversabilă, pentru orice număr rațional $a$.

**5p** **6.** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $X \cdot B(0)=A$.

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*