**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ , $5(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-5$ **3p**

$5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+5=5$ **2p**

**2.** $f(1)=a-2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$f(2)=a-2$, deci $f(1)=f(2)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**3.** $x+2=4-x$ **2p**

$x=1$, care convine **3p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele care au produsul cifrelor egal cu $8$ sunt: $18$, $24$, $42$ și $81$, deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}$ **3p**

**5.** $a=\frac{0+2}{2}$ **3p**

$a=1$ **2p**

**6.** $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, $\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ **3p**

$\frac{1}{2}+\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=2$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $3 * 0=3(4-3-0)+3 \cdot 0=$ **3p**

$=3 \cdot 1+0=3$ **2p**

**2.** $x * y=x y-3 x-3 y+9+3=$ **2p**

$=x(y-3)-3(y-3)+3=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**3.** $x * 4=(x-3)(4-3)+3=x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4 * x=(4-3)(x-3)+3=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**4.** $\frac{7}{3} * \frac{3}{2}=\left(\frac{7}{3}-3\right)\left(\frac{3}{2}-3\right)+3=4$ **2p**

$\frac{3}{2} * \frac{7}{3}=\left(\frac{3}{2}-3\right)\left(\frac{7}{3}-3\right)+3=4$, deci $\frac{7}{3}$ este simetricul lui $\frac{3}{2}$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **3p**

**5.** $9^x * 3^x=\left(9^x-3\right)\left(3^x-3\right)+3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\left(3^{2x}-3\right)\left(3^x-3\right)=0$, de unde obținem $x=\frac{1}{2}$ sau $x=1$ **3p**

**6.** $3 * x=3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3 * 4 * 5 * \ldots * 2023=3 *(4 * 5 * \ldots * 2023)=3$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det(B(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 =$ **3p**

$= 0 - 1 = -1$ **2p**

**2.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 1+4 & -2+2 \\ -2+2 & 4+1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5I_2$ **2p**

**3.** $\det(B(a) + A) = \begin{vmatrix} a+1 & 3 \\ 3 & a+1 \end{vmatrix} = (a+1)^2 - 3^2$ **3p**

$a = 2$ sau $a = -4$ **2p**

**4.** $B(a) \cdot B(-2) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 1-2a \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Cum $B(0) - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, obținem $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 1-2a \end{pmatrix} \Leftrightarrow a = 1$ **3p**

**5.** $\det(B(a-1)) = \begin{vmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{vmatrix} = a^2 - 2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Cum $a$ este număr rațional, obținem $a^2 - 2 \neq 0$, deci matricea $B(a-1)$ este inversabilă **3p**

**6.** Inversa matricei $B(0)$ este matricea $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ **2p**

$X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ **3p**

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*