**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_6$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, cu $a_1 = 3$ și $a_5 = 23$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m, -1)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x-1} = 9 \cdot 3^{x+1}$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $A$, care au cel mult două elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3, 1)$ și $B(4, 4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că $\vec{OA} = \vec{BC}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 6$ și înălțimea $AD = 3$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 0$.

**5p** **b)** Arătați că $A(x) \cdot A(y) - A(xy) = (x + y - 2)A(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-1) \cdot A(3) \cdot A(x) = A(y)$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 3mX + m$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m = 2$, arătați că $f(1) = 3$.

**5p** **b)** Pentru $m = 0$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul rațional $m$ pentru care polinomul $f$ are rădăcina $x_1 = 1 + \sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{3e^x}{x^2 + x + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{3e^x(x^2 - x)}{(x^2 + x + 1)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(2x)}{f(x)} = +\infty$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții, pentru orice $m \in (e, 3)$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 6x + \ln(x + 1)$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^2 (f(x) - \ln(x + 1)) dx = 9$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{e-1} \frac{f(x)-6x}{x+1} dx = \frac{1}{2}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(x^{2}\right)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $a\pi + \ln 2$.