**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $4r = a_5 - a_1 = 20$, deci $r = 5$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice **3p**

$a_6 = a_5 + r \Rightarrow a_6 = 28$ **2p**

**2.** $f(m) = -1$, de unde obținem $m^2 - 6m + 9 = 0$ **3p**

$m = 3$ **2p**

**3.** $3^{2x-1} = 3^{x+3}$, de unde obținem $2x - 1 = x + 3$ **3p**

$x = 4$ **2p**

**4.** $C_5^1 + C_5^2 =$ **3p**

$= 5 + 10 = 15$ **2p**

**5.** $\vec{OA} = 3\vec{i} + \vec{j}$, $\vec{BC} = (x_C - 4)\vec{i} + (y_C - 4)\vec{j}$ **3p**

$x_C = 7$ și $y_C = 5$ **2p**

**6.** Triunghiul $ADB$ este dreptunghic în $D$, deci $BD = 3\sqrt{3}$ **2p**

$BC = 4\sqrt{3}$, deci $R = 2\sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 0$ **3p**

**b)** $A(x) \cdot A(y) - A(xy) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ y+x-2 & 0 & y+x-2 \\ -y-x+2 & 0 & -y-x+2 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= (y+x-2) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = (x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**c)** $A(-1) \cdot A(3) \cdot A(x) = A(-3) \cdot A(x) = A(-3x) + (x-5)A(0)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$A(-3x) + (x-5)A(0) = A(y)$, de unde obținem $x = 5$ și $y = -15$ **3p**

**2.a)** $f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 6X + 2 \Rightarrow f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 8 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 =$ **3p**

$= 1 + 2 - 8 + 6 + 2 = 3$ **2p**

**b)** $f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 = X^2(X^2 + 2X - 8)$ **2p**

Rădăcinile polinomului $f$ sunt $x_1 = x_2 = 0$, $x_3 = -4$, $x_4 = 2$ **3p**

**c)** Polinomul $f$ are coeficienți raționali, deci $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ este rădăcină a polinomului $f$ **2p**

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -2$ și $x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -8$, unde $x_3$ și $x_4$ sunt celelalte rădăcini ale polinomului $f$, de unde obținem $x_3 + x_4 = -4$ și $x_3x_4 = 2$ și, cum $x_1x_2x_3x_4 = m$, rezultă $m = -4$, care convine **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

1.a) $f'(x) = \frac{3e^x(x^2+x+1) - 3e^x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} =$ **3p**

$= \frac{3e^x(x^2+x+1-2x-1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1} \cdot \frac{x^2+x+1}{3e^x} =$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \left( e^x \cdot \frac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( e^x \cdot \frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} \right) = +\infty$ **3p**

**c)** $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ sau $x=1$; pentru orice $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, 0)$; pentru orice $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(0, 1)$; pentru orice $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \ f(0) = 3, \ f(1) = e, \ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și, cum $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $m \in (e, 3)$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 (f(x) - \ln(x+1)) dx = \int_1^2 6x dx = 3x^2 \bigg _1^2 =$ **3p**

$= 12 - 3 = 9$ **2p**

**b)** $\int_0^{e-1} \frac{f(x)-6x}{x+1} dx = \int_0^{e-1} \ln(x+1)(\ln(x+1))' dx = \frac{\ln^2(x+1)}{2} \bigg _0^{e-1} =$ **3p**

$= \frac{\ln^2 e}{2} - \frac{\ln^2 1}{2} = \frac{1}{2}$ **2p**

**c)** $g(x) = 6x^2 + \ln(x^2+1) \Rightarrow \mathcal{A} = \int_0^1 g(x) dx = 2x^3 \bigg _0^1 + \int_0^1 x' \ln(x^2+1) dx = 2 + \ln 2 - \int_0^1 \frac{2x^2}{x^2+1} dx =$ **3p**

$= 2 + \ln 2 - 2x \bigg _0^1 + 2\text{arctg } x \bigg _0^1 = \frac{\pi}{2} + \ln 2$, deci $\frac{\pi}{2} + \ln 2 = a\pi + \ln 2$, de unde obținem $a = \frac{1}{2}$ **2p**