**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 1**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $3 \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} = 4$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = 6$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(2x + 1) = \log_7 9$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = \{1, 2, 3, \dots, 23\}$, acesta să verifice inegalitatea $n \ge 10$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1, 2)$ și $B(1, 6)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC = \sqrt{2}$ și $BC = 2$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ și $C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = -1$.

**5p** **b)** Arătați că $2B - A = 3C$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $2X \cdot A = B + 2C$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$.

**5p** **a)** Arătați că $5 * 4 = 4$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 6 = 6x$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\frac{4}{n} * n > 4$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{e^x f''(x)} = 0$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-9, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{8x}{x + 9}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 (x + 9) \cdot f(x) \, dx = 4$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_1^6 \frac{1}{8x} \cdot f(x) \, dx = \ln \frac{3}{2}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_0^3 f(x^2) \, dx = 6(4 + a\pi)$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale