**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $3 \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} =$ **3p**

$= \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$ **2p**

**2.** $f(a) = a + 2$ **2p**

$a + 2 = 6$, de unde obținem $a = 4$ **3p**

**3.** $2x + 1 = 9$ **3p**

$x = 4$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are $23$ de elemente, deci sunt $23$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt $14$ numere $n$ care verifică inegalitatea $n \ge 10$, deci sunt $14$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{14}{23}$ **3p**

**5.** $x_M = \frac{-1 + 1}{2} = 0$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ **3p**

$y_M = \frac{2 + 6}{2} = 4$ **2p**

**6.** $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{2}$ **3p**

$AB = AC$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 =$ **3p**

$= 3 - 4 = -1$ **2p**

**b)** $2B - A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 3 \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3C$ **2p**

**c)** $B + 2C = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$, $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ **3p**

$X = \frac{1}{2}(B + 2C) \cdot A^{-1}$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ **2p**

**2.a)** $5 * 4 = (5 - 4)(4 - 4) + 4 =$ **3p**

$= 1 \cdot 0 + 4 = 4$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $x * 6 = 2x - 4$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$2x - 4 = 6x$, de unde obținem $x = -1$ **2p**

**c)** $\left( \frac{4}{n} - 4 \right)(n - 4) + 4 > 4 \Leftrightarrow \left( \frac{1}{n} - 1 \right)(n - 4) > 0$, unde $n$ este număr natural nenul **2p**

Cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 2$ și $n = 3$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x - 15 =$ **3p**

$= 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -5$ sau $x = 1$ **2p**

$f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -5]$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -5]$, $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [-5, 1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-5, 1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **3p**

**c)** $f''(x) = 3(2x + 4)$, $x \in \mathbb{R}$, deci $\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{e^x f''(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - 5}{e^x (2x + 4)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 4}{e^x (2x + 6)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x (2x + 8)} = 0$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 (x + 9) \cdot f(x) \, dx = \int_0^1 8x \, dx = 4x^2 \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 4 - 0 = 4$ **2p**

**b)** $\int_1^6 \frac{1}{8x} \cdot f(x) \, dx = \int_1^6 \frac{1}{x + 9} \, dx = \int_1^6 \frac{(x + 9)'}{x + 9} \, dx = \ln(x + 9) \bigg _1^6 =$ **3p**

$= \ln 15 - \ln 10 = \ln \frac{3}{2}$ **2p**

**c)** $\int_0^3 f(x^2) \, dx = \int_0^3 \frac{8x^2}{x^2 + 9} \, dx = 8 \int_0^3 \left( 1 - \frac{9}{x^2 + 9} \right) dx = 8x \bigg _0^3 - 8 \cdot \frac{9}{3} \text{arctg} \frac{x}{3} \bigg _0^3 = 24 - 6\pi$ **3p**

$24 - 6\pi = 6(4 + a\pi)$, de unde obținem $a = -1$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale