**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $4-6\sqrt{3}+3(2\sqrt{3}-1)=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=5x-3$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1} \cdot 2^3=1$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{3,4,5,6\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$, $B(0,2)$, $C(3,3)$ și $M$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că segmentele $MO$ și $MC$ au lungimile egale.

**5p** **6.** Se consideră $E(x)=2\sin x \sin 2x - \cos x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 3+a & 2-2a \\ 1-a & 1+3a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $A(0) \cdot (A(a)-A(0)) = aI_2$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\det(A(a^2)-aA(a)) \ge 0$, pentru orice număr real $a$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x^2 - 4xy + 3y^2$.

**5p** **a)** Arătați că $0 \circ 2 = 12$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x) \circ x = -1$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m < n$, pentru care $m \circ n = 3$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 5 + \frac{4x-4}{x^2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $ f(x)-f(y) \le 1$, pentru orice $x, y \in [1, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 3x^2 + 4\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = 7$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_1^e x(f(x) - 3x^2) dx = e^2 + 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_1^{\sqrt{e}} f(x)F''(x) dx = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $F: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $f$.