**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $4-6\sqrt{3}+3(2\sqrt{3}-1)=4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3=$ **3p**

$=4-3=1$ **2p**

**2.** $5a-3=2a+3$ **3p**

$a=2$ **2p**

**3.** $2^{2x+4}=2^0$, de unde obținem $2x+4=0$ **3p**

$x=-2$ **2p**

**4.** Cifra zecilor se poate alege în 4 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 3 moduri, deci sunt $4 \cdot 3 = 12$ numere **3p**

**5.** $M(2,1)$, de unde obținem $MO=\sqrt{5}$ **3p**

$MC=\sqrt{5}$, deci $MO=MC$ **2p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 =$ **3p**

$= 3 - 2 = 1$ **2p**

**b)** $A(a) - A(0) = \begin{pmatrix} a & -2a \\ -a & 3a \end{pmatrix}$ **2p**

$A(0) \cdot (A(a) - A(0)) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = aI_2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**c)** $A(a^2) = \begin{pmatrix} 3+a^2 & 2-2a^2 \\ 1-a^2 & 1+3a^2 \end{pmatrix}$, $A(a^2) - aA(a) = \begin{pmatrix} 3-3a & 2-2a \\ 1-a & 1-a \end{pmatrix}$ **2p**

$\det(A(a^2) - aA(a)) = 3(1-a)^2 - 2(1-a)^2 = (1-a)^2 \ge 0$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**2.a)** $0 \circ 2 = 0^2 - 4 \cdot 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 =$ **3p**

$= 0 - 0 + 12 = 12$ **2p**

**b)** $(2x) \circ x = -x^2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-x^2 = -1$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 1$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $m \circ n = m^2 - mn - 3mn + 3n^2 = (m-n)(m-3n)$, pentru orice numere întregi $m$ și $n$ **2p**

$(m-n)(m-3n) = 3$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi cu $m < n$, obținem perechile $(-4, -1)$ și $(0, 1)$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{4x^2 - (4x-4) \cdot 2x}{x^4} =$ **3p**

$= \frac{4x(2-x)}{x^4} = \frac{4(2-x)}{x^3}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 5 + \frac{4x-4}{x^2} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( 5 + \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2} \right) = 5$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 5$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$; pentru orice $x \in [1, 2]$, $f'(x) \geq 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[1, 2]$ și pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \leq 0 \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[2, +\infty)$ **2p**

$f(1) = 5, \ f(2) = 6$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$, deci $5 \leq f(x) \leq 6$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, de unde obținem $ f(x) - f(y) \leq 1$, pentru orice $x, y \in [1, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_{1}^{2} (f(x) - 4 \ln x) dx = \int_{1}^{2} 3x^2 dx = x^3 \bigg _{1}^{2} =$ **3p**

$= 8 - 1 = 7$ **2p**

**b)** $\int_{1}^{e} x(f(x) - 3x^2) dx = \int_{1}^{e} 4x \ln x dx = \int_{1}^{e} (2x^2)' \ln x dx = 2x^2 \ln x \bigg _{1}^{e} - x^2 \bigg _{1}^{e} =$ **3p**

$= 2e^2 - 0 - e^2 + 1 = e^2 + 1$ **2p**

**c)** $F'(x) = f(x) \Rightarrow F''(x) = f'(x), \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

$\int_{1}^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) dx = \int_{1}^{\sqrt{e}} f(x) f'(x) dx = \frac{f^2(x)}{2} \bigg _{1}^{\sqrt{e}} = \frac{(3e+2)^2 - 3^2}{2} = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$ **3p**

***