**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{25} + \sqrt{64} - \sqrt{169} = 5 + 8 - 13 =$ **3p**

$= 13 - 13 = 0$ **2p**

**2.** $2n + 2 \ge n^2 + 2$ **2p**

$2n \ge n^2$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ sau $n = 2$ **3p**

**3.** $\log_3(2x - 1) = 1$, de unde obținem $2x - 1 = 3$ **3p**

$x = 2$, care convine **2p**

**4.** După prima scumpire cu $20\%$, prețul obiectului este $150 + \frac{20}{100} \cdot 150 = 180$ de lei **2p**

După a doua scumpire cu $20\%$, prețul obiectului este $180 + \frac{20}{100} \cdot 180 = 216$ lei **3p**

**5.** $M$ mijlocul segmentului $AB \Rightarrow 3 = \frac{0 + x_B}{2}$, $6 = \frac{4 + y_B}{2}$ **3p**

$x_B = 6$, $y_B = 8$ **2p**

**6.** $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ **3p**

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $2 * (-2) = 2 + (-2) - 4 =$ **3p**

$= 0 - 4 = -4$ **2p**

**2.** $(x * y) * z = (x + y - 4) * z = (x + y - 4) + z - 4 = x + y + z - 8$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$ **2p**

$x * (y * z) = x * (y + z - 4) = x + (y + z - 4) - 4 = x + y + z - 8 = (x * y) * z$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$, deci legea de compoziție „$*$” este asociativă **3p**

**3.** $(1 * 2 * 3) * (4 * 5 * 6) = (-2) * 7 =$ **3p**

$= -2 + 7 - 4 = 1 > 0$ **2p**

**4.** $x * x * x = 3x - 8$, $(x + 1) * x = 2x - 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3x - 8 = 2x - 3$, de unde obținem $x = 5$ **3p**

**5.** $4^x * 2^x = 4^x + 2^x - 4$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4^x + 2^x - 6 = 0 \Leftrightarrow (2^x - 2)(2^x + 3) = 0$, de unde obținem $x = 1$ **3p**

**6.** $x^2 + \frac{1}{x^2} - 4 \ge -2 \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0$, pentru orice număr real nenul $x$ **2p**

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \ge 0$, deci $x^2 * \frac{1}{x^2} \ge -2$, pentru orice număr real nenul $x$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare \

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare \

Varianta 1

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 =$ **3p**

$= -1 - 0 = -1$ **2p**

**2.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **2p**

Cum $B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, obținem $A \cdot A - B \cdot B = O_2$ **3p**

**3.** $A \cdot A - xI_2 = \begin{pmatrix} 1-x & 0 \\ 0 & 1-x \end{pmatrix}$, deci $\det(A \cdot A - xI_2) = (1-x)^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$(1-x)^2 = 0$, de unde obținem $x = 1$ **2p**

**4.** $A - B - xI_2 = \begin{pmatrix} -x & -2 \\ 1 & -x \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} -x & -2 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 2$ **2p**

**5.** $a(A+B) = \begin{pmatrix} 2a & 2a \\ a & -2a \end{pmatrix}$, deci $\det(a(A+B)) = -6a^2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$-6a^2 = -6$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 1$ **2p**

**6.** $A^{-1} = A \Rightarrow X = A \cdot B$ **3p**

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

***

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare