**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numărul complex $z=3+i$. Arătați că $z(z-2i)=10$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=5x+1$. Arătați că $f(2x)-2f(x)=-1$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^3-2x+2}=x$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $n+5$ să fie multiplu de

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{f(x)}{x+2} dx = \frac{e-2}{e}$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} \int\limits_{0}^{x} f(t) dt \right) = 1$.