**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z(z-2i) = (3+i)(3-i) = 3^2 - i^2 =$ **3p**

$= 9+1 = 10$ **2p**

**2.** $f(2x) = 10x+1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$f(2x) - 2f(x) = 10x+1 - 2(5x+1) = 10x+1 - 10x - 2 = -1$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**3.** $x^3 - 2x + 2 = x^3$, deci $-2x + 2 = 0$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt 9 numere $n$ pentru care $n+5$ este multiplu de 10, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ **3p**

**5.** $m_{AB} = 4$ și, cum $d \parallel AB$, obținem $m_d = 4$ **3p**

Ecuația dreptei este $y - 0 = 4(x - 0)$, adică $y = 4x$ **2p**

**6.** $AD = \frac{BC}{2}$, unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$ **3p**

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AD \cdot BC}{2} = 4$, de unde obținem $BC = 4$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 4 + 2 + 0 - 0 - 0 + 2 = 8$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{vmatrix} = -a^2 + 2a + 8$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2$ sau $a = 4$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$ **3p**

**c)** Pentru $a = -2$, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma $(2, -2-2\alpha, \alpha)$, cu $\alpha \in \mathbb{C}$ **3p**

$x_0 z_0 + y_0 = 2\alpha - 2 - 2\alpha = -2$, pentru orice soluție $(x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații **2p**

**2.a)** $2 \circ 3 = 2 \cdot 3 + (2^2 - 2)(2^3 - 2) =$ **3p**

$= 6 + 12 = 18$ **2p**

***

**b)** $x \circ 1 = x \cdot 1 + \left(2^x - 2\right)\left(2^1 - 2\right) = x + 0 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$1 \circ x = 1 \cdot x + \left(2^1 - 2\right)\left(2^x - 2\right) = x + 0 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**c)** $x \circ (-x) = -x^2 + 1 - 2 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^{-x} + 4 =$ **2p**

$= -x^2 + 1 - 2 \cdot \left(2^x - 2 + \frac{1}{2^x}\right) = 1 - x^2 - 2 \cdot \left(\sqrt{2^x} - \frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2 \le 1$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 + 3(\ln(x+3) - \ln(x-1))' = 1 + \frac{3}{x+3} - \frac{3}{x-1} =$ **3p**

$= \frac{x^2 + 2x - 3 + 3x - 3 - 3x - 9}{(x+3)(x-1)} = \frac{x^2 + 2x - 15}{(x+3)(x-1)}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x} \ln \frac{x+3}{x-1}\right) = 1$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(3 \ln \frac{x+3}{x-1}\right) = 0$, deci dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$; $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (1, 3] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(1, 3]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [3, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[3, +\infty)$, deci $f(x) \ge f(3)$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **3p**

$f(3) = 3 + 3 \ln 3$, deci $x + 3 \ln \frac{x+3}{x-1} \ge 3 + 3 \ln 3$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$, de unde obținem $\ln \frac{x+3}{3(x-1)} \ge 1 - \frac{x}{3}$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^3 f(x) e^x dx = \int_0^3 (x^2 + 2x) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \frac{27}{3} + 9 = 18$ **2p**

**b)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{x+2} dx = \int_0^1 x(-e^{-x})' dx = x(-e^{-x}) \bigg _0^1 - \int_0^1 -e^{-x} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = \frac{e-2}{e}$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} \int_0^x f(t) dt \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x f(t) dt \right)'}{(x^2)'} =$ **2p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+2)e^{-x}}{2} = 1$ **3p**

***