**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(1,5-0,5) \cdot 3-2 \cdot 0,5=1 \cdot 3-1=$ **3p**

$=3-1=2$ **2p**

**2.** $f(a)=2 a-3$ **2p**

$2 a-3=9$, de unde obținem $a=6$ **3p**

**3.** $3 x-1=5$ **3p**

$x=2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care $5 n \leq 22$ sunt $0,1,2,3$ și $4$, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem $p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ **3p**

**5.** $x_{M}=\frac{-2+6}{2}, y_{M}=\frac{1+3}{2}$, unde $M$ este mijlocul segmentului $A B$ **3p**

$x_{M}=2, y_{M}=2$ **2p**

**6.** $A B=3$ **2p**

$\mathcal{A}_{\triangle A B C}=\frac{A B \cdot A C}{2}=\frac{3 \cdot 4}{2}=6$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\operatorname{det} A=\left \begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right =2 \cdot 3-1 \cdot 1=$ **3p**

$=6-1=5$ **2p**

**b)** $2 A-B(2)=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)=$ **3p**

$=2\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)=2 B(0)$ **2p**

**c)** $B(1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \Rightarrow B(x) \cdot B(1)-(x+1) A=\left(\begin{array}{cc}2 & x+2 \\ x+2 & x+4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2 x+2 & x+1 \\ x+1 & 3 x+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 x & 1 \\ 1 & 1-2 x\end{array}\right)$ **3p**

și $\operatorname{det}(B(x) \cdot B(1)-(x+1) A)=4 x^{2}-2 x-1$, pentru orice număr real $x$

$4 x^{2}-2 x-1=1 \Leftrightarrow 2 x^{2}-x-1=0$, de unde obținem $x=-\frac{1}{2}$ sau $x=1$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 1=1+1-6 \cdot 1 \cdot 1=$ **3p**

$=2-6=-4$ **2p**

**b)** $0 \circ x=0+x-6 \cdot 0 \cdot x=0+x-0=x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x \circ 0=x+0-6 \cdot x \cdot 0=x+0-0=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $m \circ (3-m) = 3 - 6m(3-m)$, pentru orice număr întreg $m$ **2p**

$3 - 6m(3-m) < 3 \Leftrightarrow m(m-3) < 0$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m=1$ și $m=2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 4x^3 =$ **3p**

$= 6x^2 - 12x^3 = 6x^2(1-2x)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+3x^4}{x^3+4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+2}{x^3+4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3\left(2+\frac{2}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{4}{x^3}\right)} =$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{4}{x^3}} = 2$ **3p**

**c)** $f'(x)=0 \Rightarrow x=0$ sau $x=\frac{1}{2}$; $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in \left[0, \frac{1}{2}\right] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ **2p**

$f(0)=2$, $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{33}{16}$ și $f(2)=-30$, deci $-30 \le f(x) \le \frac{33}{16}$, pentru orice $x \in [0,2]$, de unde obținem $-32 \le 2x^3 - 3x^4 \le \frac{1}{16}$, pentru orice $x \in [0,2]$ **3p**

**2.a)** $\int_2^3 (f(x)-3e^x)dx = \int_2^3 2xdx = x^2 \bigg _2^3 =$ **3p**

$= 9-4 = 5$ **2p**

**b)** $\int_0^1 x(f(x)-2x)dx = \int_0^1 3xe^x dx = 3xe^x \bigg _0^1 - 3e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 3e - 0 - 3e + 3 = 3$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \frac{f'(x)-x}{2f(x)-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(2f(x)-x^2)'}{2f(x)-x^2} dx = \frac{1}{2} \ln 2f(x)-x^2 \bigg _0^1 = \frac{1}{2} \ln \left(e+\frac{1}{2}\right)$ **3p**

$\frac{1}{2} \ln \left(e+\frac{1}{2}\right) = a \ln \left(e+\frac{1}{2}\right)$, de unde obținem $a = \frac{1}{2}$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*