**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x^{2}-4 x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x-3}=\frac{1}{2^{2 x}}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(0,3)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

**5p** **6.** Se consideră $E(x)=\operatorname{tg} x+\sin \frac{3 x}{2}-2 \cos \frac{x}{2}$, unde $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $M(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2 x & 2 x+1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(M(1))=4$.

**5p** **b)** Arătați că $M(x) \cdot M(1)=M(4 x+1)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x) \cdot M(1) \cdot M(1)=M(x+2)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=5 x y+10 x+10 y+18$.

**5p** **a)** Arătați că $(-1) \circ 0=8$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x \circ y=5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numărul întreg $m$ pentru care $m \circ m=m$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}+\ln (x-1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x-2}{(x-1)^{2}}$, $x \in(1,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{x^{2}+1}{x-1}+\ln (x-1) \geq 5$, pentru orice $x \in(1,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{6 x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{2} f(x)\left(6 x^{2}+1\right) d x=10$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{2} \left( f(x) - \frac{4}{6x^2+1} \right) dx = \frac{\ln 5}{6}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $\int\limits_{0}^{1} \frac{x+4}{f(x)} \cdot e^{2x} dx = m(e^2-1)$.

***