**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=$ **3p**

$=4-2=2$ **2p**

**2.** $f(x)=0 \Leftrightarrow 2x^2-4x=0$ **3p**

$x=0$ sau $x=2$ **2p**

**3.** $2^{x-3}=2^{-2x} \Leftrightarrow x-3=-2x$ **3p**

$x=1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere care sunt multipli de 11, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ **3p**

**5.** $AC=5$ **2p**

$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$, deci $AC=BC$, de unde obținem că triunghiul $ABC$ este isoscel **3p**

**6.** $\text{tg} \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, $\sin \frac{\pi}{2}=1$, $\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}+1-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $M(1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(1))=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)=$ **3p**

$=6-2=4$ **2p**

**b)** $M(x) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 4x+2 & -4x-1 \\ -8x-2 & 8x+3 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} (4x+1)+1 & -(4x+1) \\ -2(4x+1) & 2(4x+1)+1 \end{pmatrix} = M(4x+1)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $M(x) \cdot M(1) \cdot M(1) = (M(x) \cdot M(1)) \cdot M(1) = M(4x+1) \cdot M(1) = M(16x+5)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$M(16x+5) = M(x+2)$, de unde obținem $16x+5=x+2$, deci $x=-\frac{1}{5}$ **2p**

**2.a)** $(-1) \circ 0 = 5 \cdot (-1) \cdot 0 + 10 \cdot (-1) + 10 \cdot 0 + 18 =$ **3p**

$=-10+18=8$ **2p**

**b)** $x \circ y = 5xy + 10x + 10y + 20 - 2 = 5x(y+2) + 10(y+2) - 2 =$ **3p**

$=(5x+10)(y+2)-2 = 5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

:: : ::

**c)** $m \circ m = 5(m+2)^2 - 2$, pentru orice număr întreg $m$ **2p**

$5(m+2)^2 - 2 = m \Rightarrow (m+2)(5m+9) = 0$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m = -2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

:: : ::

**1.a)** $f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-1} =$ **3p**

$= \frac{x^2 - 2x - 1 + x - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - x - 2}{(x-1)^2}, x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(2) = 5, f'(2) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(2) = f'(2)(x-2)$, adică $y = 5$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$; pentru $x \in (1, 2] \Rightarrow f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(1, 2]$ și pentru $x \in [2, +\infty) \Rightarrow f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$ **3p**

$f(x) \ge f(2)$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$, de unde obținem $\frac{x^2+1}{x-1} + \ln(x-1) \ge 5$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^2 f(x)(6x^2+1) dx = \int\limits_0^2 (x+4) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 4x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 2 + 8 = 10$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^2 \left( f(x) - \frac{4}{6x^2+1} \right) dx = \int\limits_0^2 \frac{x}{6x^2+1} dx = \frac{1}{12} \int\limits_0^2 \frac{(6x^2+1)'}{6x^2+1} dx = \frac{1}{12} \ln(6x^2+1) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{1}{12} \ln 25 = \frac{\ln 5}{6}$ **2p**

**c)** $\int\limits_0^1 \frac{x+4}{f(x)} \cdot e^{2x} dx = \int\limits_0^1 (6x^2+1) \cdot e^{2x} dx = \int\limits_0^1 (6x^2+1) \cdot \left( \frac{e^{2x}}{2} \right)' dx = (6x^2+1) \cdot \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) \bigg _0^1 - \int\limits_0^1 6x e^{2x} dx =$ **3p**

$= \frac{7e^2-1}{2} - 3x e^{2x} \bigg _0^1 + \frac{3e^{2x}}{2} \bigg _0^1 = 2e^2 - 2$

$2e^2 - 2 = m(e^2 - 1)$, de unde obținem $m = 2$ **2p**

***