**Examenul de bacalaureat național 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 3**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(\sqrt{3}+1)^{2}-(\sqrt{3}-1)^{2}=\sqrt{48}$.

**5p** **2.** Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x+1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=-2 x+5$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x-2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2 x}$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ și $8$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(0,2), B(5,2)$ și $C(6,6)$. Determinați distanța de la punctul $B$ la mijlocul segmentului $A C$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B=9, A C=12$ și $B C=15$. Arătați că $\sin B+\sin C=\frac{7}{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=-\frac{1}{3} x y+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}$.

**5p** **1.** Arătați că $4 * 2=0$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Determinați numărul real $x$ pentru care $4 * x=x$.

**5p** **4.** Arătați că $e=-2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x=-2$.

**5p** **6.** Arătați că $\frac{1}{x} * \frac{1}{x} \leq 1$, pentru orice număr real nenul $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A(x, y)=\begin{pmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

**5p** **1.** Arătați că $\det B=2$.

**5p** **2.** Arătați că $\det(A(2 n, 2 n+1))$ este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$.

**5p** **3.** Arătați că $A(2 x, 0)+A(0, 2 x)=2 A(x, x)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ și $y$, astfel încât $A(x, y) \cdot B=B \cdot A(x, y)$.

**5p** **5.** Determinați numărul real strict pozitiv $x$, știind că suma elementelor matricei $A\left(\log _{3} x, 1\right)$ este egală cu $5$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $A(x, y) \cdot A(x, y)=2 I_{2}$.

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*