**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$, $(\sqrt{3}-1)^2 = 4-2\sqrt{3}$ **3p**

$(4+2\sqrt{3})-(4-2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ **2p**

**2.** $2x+1 = -2x+5$, deci $x=1$ **2p**

$f(1)=3$, deci coordonatele punctului de intersecție sunt $(1,3)$ **3p**

**3.** $3^{x-2} = 3^{2x}$, de unde obținem $x-2 = 2x$ **3p**

$x = -2$ **2p**

**4.** Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 8 moduri, deci se pot forma $4 \cdot 8 = 32$ de numere naturale impare de două cifre **3p**

**5.** $x_M = 3$ și $y_M = 4$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AC$ **3p**

$BM = \sqrt{(3-5)^2 + (4-2)^2} = 2\sqrt{2}$ **2p**

**6.** $AB^2 + AC^2 = BC^2$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ **3p**

$\sin B + \sin C = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $4 * 2 = -\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 + \frac{1}{3}(4+2) + \frac{2}{3} =$ **3p**

$= -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = 0$ **2p**

**2.** $x * y = -\frac{1}{3}xy + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}x(y-1) + \frac{1}{3}(y-1) + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} =$ **3p**

$= -\frac{1}{3}x(y-1) + \frac{1}{3}(y-1) + 1 = -\frac{1}{3}(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $4 * x = -\frac{1}{3}(4-1)(x-1) + 1 = -x+2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-x+2 = x$, deci $x=1$ **3p**

**4.** $(-2) * x = -\frac{1}{3}(-2-1)(x-1) + 1 = x-1+1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x * (-2) = -\frac{1}{3}(x-1)(-2-1) + 1 = x-1+1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**5.** $x * x = -\frac{1}{3}(x-1)^2 + 1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-\frac{1}{3}(x-1)^2 + 1 = -2 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 9$, de unde obținem $x = -2$ sau $x = 4$ **3p**

**6.** $-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)^2 + 1 \le 1 \Leftrightarrow -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)^2 \le 0$ **3p**

$\left(\frac{1}{x}-1\right)^2 \ge 0$, deci $\frac{1}{x} * \frac{1}{x} \le 1$, pentru orice număr real nenul $x$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det B = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 0 + 2 = 2$ **2p**

**2.** $A(2n, 2n+1) = \begin{pmatrix} 2n & 2n+1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $\det(A(2n, 2n+1)) = 2n - 1$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

$2n - 1$ este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

**3.** $A(2x, 0) + A(0, 2x) = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2x \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2x \\ 2 & 4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \cdot \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2A(x, x)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**4.** $\begin{pmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x-y & 2x \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2 & y+4 \\ -x & -y \end{pmatrix}$ **3p**

$x = 1$ și $y = -2$ **2p**

**5.** $A(\log_3 x, 1) = \begin{pmatrix} \log_3 x & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, deci suma elementelor matricei este $4 + \log_3 x$ **3p**

$4 + \log_3 x = 5 \Leftrightarrow \log_3 x = 1$, de unde obținem $x = 3$, care convine **2p**

**6.** $A(x, y) \cdot A(x, y) = \begin{pmatrix} x^2 + y & xy + 2y \\ x + 2 & y + 4 \end{pmatrix}$, $2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ **2p**

$\begin{pmatrix} x^2 + y & xy + 2y \\ x + 2 & y + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = -2$ și $y = -2$ **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare