**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $5(1+2i)-2i(5-i)=3$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=1+a^2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(2x^2+1)=2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(1,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $\vec{AB} = \vec{DC}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, astfel încât $BC=10$ și $\sin B = 2\sin C$. Arătați că lungimea laturii $AB$ este egală cu $2\sqrt{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -x & 0 \\ x & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $(A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x) \cdot A(x) = xA(x) - (x-1)I_3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x+y)^2 - 2(x-y) - 3$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 2 = 5$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (x+1) = 8$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m * n = 2mn$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 - 5x + 10)\sqrt{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{5(x^2 - 3x + 2)}{2\sqrt{x}}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{x}{5}} = \frac{1}{e}$.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+e^{x}+\frac{1}{e^{x}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{2}\left(f(x)-\frac{1}{e^{x}+1}\right) d x=e^{2}+1$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{-1}^{1} e^{x}\left(f(x)-x-e^{x}\right) d x=1$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_{0}^{1} x(f(x)+f(-x)) d x=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}$.