**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $5(1+2i)-2i(5-i)=5+10i-10i+2i^2=$ **3p**

$=5+2 \cdot (-1)=3$ **2p**

**2.** $f(a)=a^2-2a-3$, deci $a^2-2a-3=1+a^2$ **3p**

$-2a=4$, de unde obținem $a=-2$ **2p**

**3.** $2x^2+1=3^2 \Rightarrow x^2-4=0$ **3p**

$x=-2$ sau $x=2$, care convin **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 20 de numere care au cifrele impare și distincte, deci sunt 20 de cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$ **3p**

**5.** $\vec{AB} = \vec{DC} \Rightarrow ABCD$ este paralelogram, deci segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc **2p**

Mijlocul segmentului $AC$ are coordonatele $(3,1)$, de unde obținem $D(5,-4)$ **3p**

**6.** $\sin B = \frac{AC}{BC}$, $\sin C = \frac{AB}{BC}$, deci $AC = 2AB$ **2p**

Cum $AB^2 + AC^2 = 100$, obținem $AB = 2\sqrt{5}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0+0+0-0-0-(-1) = 1$ **3p**

**b)** $A(x) - I_3 = \begin{pmatrix} x & -x & 0 \\ x & -x & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$(A(x)-I_3)(A(x)-I_3) = \begin{pmatrix} x^2-x^2 & -x^2+x^2 & 0 \\ x^2-x^2 & -x^2+x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O_3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**c)** $A(x) \cdot A(x) = 2A(x) - I_3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2A(x) - I_3 = xA(x) - (x-1)I_3 \Leftrightarrow (x-2)(A(x)-I_3) = O_3$, de unde obținem $x=0$ sau $x=2$ **3p**

***

**2.a)** $0 * 2 = (0+2)^2 - 2(0-2) - 3 =$ **3p**

$= 4 + 4 - 3 = 5$ **2p**

**b)** $x * (x+1) = 4x^2 + 4x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4x^2 + 4x = 8 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0$, de unde obținem $x = -2$ sau $x = 1$ **3p**

**c)** $(m+n)^2 - 2(m-n) - 3 = 2mn \Leftrightarrow m^2 + n^2 - 2m + 2n - 3 = 0$ **2p**

$(m-1)^2 + (n+1)^2 = 5$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(0,1)$, $(2,1)$ și $(3,0)$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = (2x-5)\sqrt{x} + (x^2-5x+10) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =$ **3p**

$= \frac{5x^2-15x+10}{2\sqrt{x}} = \frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x = 2$ **2p**

$f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (0,1]$, deci $f$ este crescătoare pe $(0,1]$, $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1,2]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[1,2]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [2, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$ **3p**

**c)** $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{x}{5}} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2-5x+10}{x^2} \right)^{\frac{x}{5}} = \lim_{x \to +\infty} \left[ \left( 1 + \frac{-5x+10}{x^2} \right)^{\frac{x^2}{-5x+10}} \right]^{\frac{-5x+10}{x^2} \cdot \frac{x}{5}} =$ **3p**

$= e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{-5x+10}{5x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 \left( f(x) - \frac{1}{e^x+1} \right) dx = \int_0^2 (x+e^x) dx = \left( \frac{x^2}{2} + e^x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 2 + e^2 - 1 = e^2 + 1$ **2p**

**b)** $\int_{-1}^1 e^x \left( f(x) - x - e^x \right) dx = \int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1} dx = \int_{-1}^1 \frac{(e^x+1)'}{e^x+1} dx = \ln(e^x+1) \bigg _{-1}^1 =$ **3p**

$= \ln(e+1) - \ln \frac{1+e}{e} = \ln e = 1$ **2p**

**c)** $\int_0^1 x(f(x) + f(-x)) dx = \int_0^1 x(e^x + e^{-x} + 1) dx = \int_0^1 x(e^x - e^{-x} + x)' dx = x(e^x - e^{-x} + x) \bigg _0^1 -$

$- \int_0^1 (e^x - e^{-x} + x) dx = e - \frac{1}{e} + 1 - \left( e^x + e^{-x} + \frac{x^2}{2} \right) \bigg _0^1 = \frac{5}{2} - \frac{2}{e}$ **3p**

$\frac{5}{2} - \frac{2}{e} = \frac{m}{2} - \frac{2}{e}$, de unde obținem $m = 5$ **2p**

***