**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Calculați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \geq 1}$, știind că $a_3 = 6$ și $a_4 = 9$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 2x - 3$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) = x - 3$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a) = g(a)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x+3) = 2$.

**5p** **4.** În urma unei scumpiri cu $30\%$, prețul unui produs a crescut cu $60$ de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,1)$, $B(2,3)$ și dreapta $d$ de ecuație $y = 2x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB = AC$, $BC = 12$ și măsura unghiului $B$ egală cu $45^\circ$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $2A(4) + A(-2) = aA(2)$.

**5p** **c)** Arătați că, dacă $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $X \cdot A(1) = A(m)$, unde $m$ este număr întreg, atunci matricea $X$ are toate elementele numere întregi.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x+y)(x-1)(y-1) + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 1 = 1$.

**5p** **b)** Arătați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n * (1-n) \geq n^2$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x+3}{x^2} + \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\ln \frac{x}{3} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x + \frac{e^x}{2} + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 \left( f(x) - \frac{e^x}{2} \right) dx = 4$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} 2x(f(x)-1)dx = \frac{5}{3}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_{-1}^{0} (f(x)-x) \cdot f(x)dx = \frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*