**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_4 - a_3 = 3$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ **2p**

$a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow a_1 = 6 - 2 \cdot 3 = 0$ **3p**

**2.** $f(a) = g(a) \Leftrightarrow a^2 + 2a - 3 = a - 3 \Leftrightarrow a^2 + a = 0$ **3p**

$a = -1$ sau $a = 0$ **2p**

**3.** $x + 3 = 3^2 \Leftrightarrow x + 3 = 9$ **3p**

$x = 6$, care convine **2p**

**4.** $\frac{30}{100} \cdot x = 60$, unde $x$ este prețul înainte de scumpire, deci $x = 200$ de lei **3p**

După scumpire, prețul produsului este $200 + 60 = 260$ de lei **2p**

**5.** $M(-1, 2)$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$ **2p**

$2 = 2 \cdot (-1) + a$, de unde obținem $a = 4$ **3p**

**6.** Triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel, de unde obținem $AB = AC = 6\sqrt{2}$ **3p**

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}}{2} = 36$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **3p**

$= 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 0$ **2p**

**b)** $2A(4) + A(-2) = 2\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 15 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 3\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 3A(2)$, de unde obținem $a = 3$ **2p**

**c)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = 2$ și $(A(1))^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ **2p**

$A(m) = \begin{pmatrix} m & m \\ 1 & 2m + 1 \end{pmatrix}$ și, cum $X = A(m) \cdot (A(1))^{-1}$, obținem $X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ -m + 1 & m \end{pmatrix}$, unde $m$ este număr întreg, deci matricea $X$ are toate elementele numere întregi **3p**

**2.a)** $2 * 1 = (2 + 1)(2 - 1)(1 - 1) + 1 =$ **3p**

$= 3 \cdot 1 \cdot 0 + 1 = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $x * y = (x + y)(x - 1)(y - 1) + 1 =$ **2p**

$= (y + x)(y - 1)(x - 1) + 1 = y * x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **3p**

**c)** $n * (1 - n) = -n^2 + n + 1$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$-n^2 + n + 1 \ge n^2 \Leftrightarrow 2n^2 - n - 1 \le 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{x^2 - (x + 3) \cdot 2x}{x^4} + \frac{1}{x} =$ **3p**

$= \frac{-x - 6}{x^3} + \frac{1}{x} = \frac{x^2 - x - 6}{x^3}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1) = 4, \ f'(1) = -6$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = -6x + 10$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3; f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 3] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(0, 3]$, $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [3, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[3, +\infty)$, deci $f(x) \ge f(3)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$\frac{x + 3}{x^2} + \ln x \ge \frac{2}{3} + \ln 3 \Rightarrow \ln \frac{x}{3} \ge \frac{2}{3} - \frac{x + 3}{x^2} \Rightarrow \ln \frac{x}{3} \ge \frac{2}{3} - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 \left( f(x) - \frac{e^x}{2} \right) dx = \int_0^2 (x + 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{2^2}{2} + 2 = 4$ **2p**

**b)** $\int_0^1 2x(f(x) - 1) dx = \int_0^1 (2x^2 + xe^x) dx = \frac{2x^3}{3} \bigg _0^1 + (x - 1)e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ **2p**

**c)** Cum $f'(x) = 1 + \frac{e^x}{2} = f(x) - x, \ x \in \mathbb{R}$, obținem $\int_{-1}^0 (f(x) - x) \cdot f(x) dx = \int_{-1}^0 f'(x) \cdot f(x) dx =$

$= \frac{f^2(x)}{2} \bigg _{-1}^0 = \frac{9e^2 - 1}{8e^2}$ **3p**

$\frac{9e^2 - 1}{8e^2} = \frac{(3e + 1)(3e + a)}{8e^2}$, de unde obținem $a = -1$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale