**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(\sqrt{8}+1) \cdot(2 \sqrt{2}-1)-\sqrt{36}=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x-1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=5+2 x$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^{2}+6 x}=x$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, numărul $4 \cdot n$ să fie element al mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(2,1), B(3,4)$ și $C$, astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $B C$. Arătați că triunghiul $A O C$ este dreptunghic isoscel.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C$ în care $\sin 30^{\circ} \cdot \sin A=\cos 60^{\circ} \cdot \cos A$. Calculați $\operatorname{tg} A$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}, I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(a)=\begin{pmatrix} 0 & a-2 \\ 1 & 3 a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot A+A=2 B(x)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\det(B(a) \cdot A+B(3 a))=4$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=(x y+1)(x+y)$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2=9$.

**5p** **b)** Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $N=n * \frac{1}{n}$ este întreg.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(