**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $(\sqrt{8}+1) \cdot(2 \sqrt{2}-1)-\sqrt{36}=(2 \sqrt{2})^{2}-1-6=$ **3p**

$=8-7=1$ **2p**

**2.** $f(x)=g(x) \Leftrightarrow 5 x-1=5+2 x$ **2p**

Coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ sunt $x=2$ și $y=9$ **3p**

**3.** $x^{2}+6 x=x^{2}$ **3p**

$x=0$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care numărul $4 \cdot n$ este element al mulțimii $A$ sunt 0, 1 și 2, deci sunt 3 cazuri favorabile **2p**

$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}$ **1p**

**5.** $2=\frac{3+x_{C}}{2}$ și $1=\frac{4+y_{C}}{2}$, deci punctul $C$ are coordonatele $x_{C}=1$ și $y_{C}=-2$ **2p**

$O A=\sqrt{5}, O C=\sqrt{5}$ și $A C=\sqrt{10}$, deci $O A^{2}+O C^{2}=A C^{2}$, de unde obținem că triunghiul $A O C$ este dreptunghic isoscel **3p**

**6.** $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}, \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ **2p**

$\frac{1}{2} \cdot \sin A=\frac{1}{2} \cdot \cos A$, deci $\sin A=\cos A$, de unde obținem $\operatorname{tg} A=1$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $\det A=\begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}=3 \cdot(-3)-(-6) \cdot 2=$ **3p**

$=-9+12=3$ **2p**

**b)** $A \cdot A=\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow A \cdot A+A=\begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & -6 \end{pmatrix}$ **2p**

$A \cdot A+A=2\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}=2 B(-1)$, de unde obținem $x=-1$ **3p**

**c)** $B(a) \cdot A=\begin{pmatrix} 2 a-4 & -3 a+6 \\ 3+6 a & -6-9 a \end{pmatrix}, B(3 a)=\begin{pmatrix} 0 & 3 a-2 \\ 1 & 9 a \end{pmatrix}$, deci $B(a) \cdot A+B(3 a)=\begin{pmatrix} 2 a-4 & 4 \\ 4+6 a & -6 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\det(B(a) \cdot A+B(3 a))=-36 a+8$, pentru orice număr real $a$, deci $-36 a+8=4 \Rightarrow a=\frac{1}{9}$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**2.a)** $1 * 2 = (1 \cdot 2 + 1)(1 + 2) =$ **3p**

$= 3 \cdot 3 = 9$ **2p**

**b)** $x * 0 = (x \cdot 0 + 1)(x + 0) = 1 \cdot x = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$0 * x = (0 \cdot x + 1)(0 + x) = 1 \cdot x = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $N = 2\left(n + \frac{1}{n}\right) = 2n + \frac{2}{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$N$ este număr întreg, deci $\frac{2}{n}$ este număr întreg și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 1$ sau $n = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x + (x - 1)e^x - \frac{2x}{2} =$ **3p**

$= xe^x - x = x(e^x - 1)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{(x^2)'} =$ **2p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(e^x - 1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2} = 0$ **3p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R} \Rightarrow f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ **2p**

Cum $x \le 0 \le x^2$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, obținem $f(x) \le f(x^2)$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 (x + 4) f(x) \, dx = \int_1^2 4x \, dx = 2x^2 \bigg _1^2 =$ **3p**

$= 8 - 2 = 6$ **2p**

**b)** $\int_1^4 \frac{1}{x} \cdot f(x^2) \, dx = 2 \int_1^4 \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx = 2 \int_1^4 (x^2 + 4)' \cdot \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = 2 \ln(x^2 + 4) \bigg _1^4 =$ **3p**

$= 2 \ln 20 - 2 \ln 5 = 4 \ln 2$ **2p**

**c)** Dacă $F: (-4, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f$, atunci $F'(x) = f(x)$, pentru orice $x \in (-4, +\infty)$ **2p**

$F''(x) = f'(x) = \frac{16}{(x + 4)^2} > 0$, pentru orice $x \in (-4, +\infty)$, deci orice primitivă a funcției $f$ este convexă **3p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale