**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați termenul $b_4$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = \sqrt{2}$ și $b_2 = 4$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = mx^2 - 2x + 1$, unde $m$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $m$ pentru care axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2} - 3^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 6$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $2n - 60$ să aparțină mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,4)$, $B(5,2)$ și $C$, mijlocul segmentului $AB$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $C$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu măsura unghiului $A$ egală cu $120^\circ$ și $AB = 6$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $9\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(x) = xI_2 + iA$, unde $x$ este număr real și $i^2 = -1$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $B(3) \cdot B(5) = 8B(x)$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi pentru care matricea $B(m) + iB(n)$ **nu** este inversabilă.

**2.** Pe mulțimea $M = [1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = xy - \sqrt{(x-1)(y-1)}$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 5 = 8$.

**5p** **b)** Arătați că $e = 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Demonstrați că $(nx) * y \ge x(n * y)$, pentru orice $x, y \in M$ și orice număr natural $n$, $n \ge 2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{4\sqrt{x}}{x^2 + 3}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}(x^2+3)^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați $a \in (0, +\infty)$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{\sqrt{x}}{x^2 + 3} > \frac{\sqrt{x + \frac{1}{x}}}{x^2 + \frac{1}{x^2} + 5}$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$.

***

Simulare

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 e^x f(x) \, dx = e$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{-1}^0 f(x) \, dx = -1$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_0^1 F(x) f''(x) \, dx = \frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ cu proprietatea $F(0)=0$.