**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $q = \frac{b_2}{b_1} = 2\sqrt{2}$, unde $q$ este rația progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$ **2p**

$b_4 = b_1 q^3 = \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^3 = 32$ **3p**

**2.** Axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0$ **3p**

$m = 1$ **2p**

**3.** $3^{x-1}(3^3 - 3 - 6) = 6 \Leftrightarrow 3^{x-1} \cdot 18 = 6 \Leftrightarrow 3^{x-1} = \frac{1}{3}$ **3p**

$x - 1 = -1$, deci $x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Numărul $2n - 60$ aparține mulțimii $A$ dacă $10 \le 2n - 60 \le 99$, deci sunt 45 de cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$ **3p**

**5.** $m_{AB} = -\frac{1}{3}$ și, cum $d \perp AB$, obținem $m_d = 3$ **2p**

$C(2,3)$ și, cum $C \in d$, obținem că ecuația dreptei $d$ este $y - 3 = 3(x - 2)$, adică $y = 3x - 3$ **3p**

**6.** $AC = AB = 6$ **2p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ}{2} = \frac{6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 9\sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 0 + 1 = 1$ **2p**

**b)** $B(3) \cdot B(5) = (3I_2 + iA)(5I_2 + iA) = 15I_2 + 8iA + i^2 A \cdot A = 16I_2 + 8iA =$ **3p**

$= 8(2I_2 + iA) = 8B(2)$, deci $x = 2$ **2p**

**c)** $B(m) + iB(n) = \begin{pmatrix} m + in & i - 1 \\ -i + 1 & m + in \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(m) + iB(n)) = (m + in)^2 - 2i$, unde $m, n \in \mathbb{Z}$ **2p**

$B(m) + iB(n)$ nu este inversabilă, deci $\det(B(m) + iB(n)) = 0 \Rightarrow m^2 - n^2 + 2(mn - 1)i = 0$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, obținem perechile $(-1, -1)$ și $(1, 1)$ **3p**

**2.a)** $2 * 5 = 2 \cdot 5 - \sqrt{(2 - 1)(5 - 1)} =$ **3p**

$= 10 - \sqrt{4} = 8$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare \

Simulare

**b)** $x * 1 = x \cdot 1 - \sqrt{(x-1)(1-1)} = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$1 * x = 1 \cdot x - \sqrt{(1-1)(x-1)} = x$, pentru orice $x \in M$, deci $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $((nx) * y) - x(n * y) = x\sqrt{(n-1)(y-1)} - \sqrt{(nx-1)(y-1)} = \sqrt{y-1} \cdot \frac{(x-1)(nx-x-1)}{x\sqrt{n-1} + \sqrt{nx-1}}$, pentru $x, y \in M$ și $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$ **2p**

Cum $nx-x-1 = x(n-1)-1$ și $x \ge 1$, $n$ este număr natural, $n \ge 2$, obținem $nx-x-1 \ge 0$, deci $(nx) * y \ge x(n * y)$, pentru orice $x, y \in M$ și orice număr natural $n$, $n \ge 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{\frac{2}{\sqrt{x}} \cdot (x^2+3) - 4\sqrt{x} \cdot 2x}{(x^2+3)^2} =$ **3p**

$= \frac{2x^2+6-8x^2}{\sqrt{x}(x^2+3)^2} = \frac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}(x^2+3)^2}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0$, deci $1-a^2 = 0$ **3p**

Cum $a \in (0, +\infty)$, obținem $a=1$ **2p**

**c)** $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(1, +\infty)$ **2p**

$1 < x < x + \frac{1}{x} \Rightarrow f(x) > f\left(x + \frac{1}{x}\right)$, deci $\frac{\sqrt{x}}{x^2+3} > \frac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 e^x f(x) \, dx = \int\limits_0^1 (e^x + 2x) \, dx = (e^x + x^2) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= e+1-1 = e$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-1}^0 f(x) \, dx = \int\limits_{-1}^0 (1 + 2xe^{-x}) \, dx = (x - 2(x+1)e^{-x}) \bigg _{-1}^0 =$ **3p**

$= -2 - (-1) = -1$ **2p**

**c)** $F'(x) = f(x)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci $\int\limits_0^1 F(x)f''(x) \, dx = F(x)f'(x) \bigg _0^1 - \frac{f^2(x)}{2} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= F(1)f'(1) - F(0)f'(0) - \frac{f^2(1) - f^2(0)}{2}$

$f'(x) = 2(1-x)e^{-x}$, deci $f'(1) = 0$ și, cum $F(0) = 0$, obținem $\int\limits_0^1 F(x)f''(x) \, dx = \frac{-2(e+1)}{e^2}$, deci $a = -2$ **2p**

***