**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $N = \log_2 24 - \log_2 12 + 3$ este pătratul unui număr natural.

**5p** **2.** Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a, a^2)$ aparține graficului funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 - 2x - 2} = x - 2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{1!, 2!, 3!, ..., 10!\}$, acesta să fie divizibil cu $9$.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $D$ mijlocul segmentului $BC$. Arătați că, pentru orice puncte $E$ și $F$ astfel încât $\vec{AE} = \vec{FD}$, are loc relația $2(\vec{EB} + \vec{FC}) = \vec{AB} + \vec{AC}$.

**5p** **6.** Arătați că $(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2 = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$, pentru orice număr real $x$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(-1)) = 3$.

**5p** **b)** Demonstrați că matricea $A(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1) \cdot X \cdot A(1) = A(2)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x \circ y = xy - \sqrt{2}(x + y - 1) + 2$.

**5p** **a)** Arătați că $\sqrt{2} \circ 0 = \sqrt{2}$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x - \sqrt{2}) \circ (x + \sqrt{2}) = x$.

**5p** **c)** Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „$\circ$” este număr rațional.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$, $f(x) = x \left( 1 - \frac{1}{x} \ln(x^2 + 1) \right)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2 + 1}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați numărul natural nenul $n$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(n, f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = \frac{1}{5}x + 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

***

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^{3}}-\frac{2 \ln x}{x^{3}}$ și funcția $F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}$, o primitivă a lui $f$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{e} x^{2}\left(f(x)+\frac{2 \ln x}{x^{3}}\right) d x=1$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{1}^{\sqrt{5}} x \cdot f\left(x^{2}+3\right) d x=-\frac{5 \ln 2}{128}$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\int_{e}^{e^{2}} x \cdot F(x) d x=\frac{a^{2}-1}{2}$.