**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $N = \log_2 \frac{24}{12} + 3 = \log_2 2 + 3 =$ **3p**

$= 1 + 3 = 4 = 2^2$ **2p**

**2.** $f(a) = a^2 \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = 0$ **3p**

$a = 1$ **2p**

**3.** $x^2 - 2x - 2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 4$ **3p**

$x = 3$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

Numerele divizibile cu $9$ din mulțimea $A$ sunt $6!$, $7!$, $8!$, $9!$ și $10!$, deci sunt $5$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $\vec{EB} + \vec{FC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{FD} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{DC}$ **2p**

$2(\vec{EB} + \vec{FC}) = 2\vec{AB} + 2\vec{DC} = \vec{AB} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AC}$ **3p**

**6.** $(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \

**b)** $x^2 - 2 - \sqrt{2}\left(x - \sqrt{2} + x + \sqrt{2} - 1\right) + 2 = x \Leftrightarrow x^2 - \left(2\sqrt{2} + 1\right)x + \sqrt{2} = 0$ **3p**

$x = \sqrt{2} - 1$ sau $x = \sqrt{2} + 2$ **2p**

**c)** $e = \sqrt{2} + 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”, deci $a$ este simetrizabil în raport cu „$\circ$” dacă și numai dacă există $a'$, astfel încât $a \circ a' = a' \circ a = \sqrt{2} + 1$ **2p**

$aa' - \sqrt{2}\left(a + a' - 1\right) + 2 = \sqrt{2} + 1 \Leftrightarrow aa' + 1 - \sqrt{2}\left(a + a'\right) = 0$ deci, dacă $a$ și $a'$ sunt numere raționale, obținem $a + a' = 0$ și $aa' = -1$, deci $a = -1$ sau $a = 1$, care convin **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \left(x - \ln(x^2 + 1)\right)' = 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x =$ **3p**

$= \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = \frac{1}{5}x + 1$, deci $f'(n) = \frac{1}{5}$ **3p**

$5(n - 1)^2 = n^2 + 1 \Leftrightarrow 2n^2 - 5n + 2 = 0$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 2$ **2p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (0, 1) \Rightarrow f$ strict crescătoare pe $(0, 1)$, $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ și, cum $f$ este continuă în $x = 1$, obținem că $f$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, deci injectivă **2p**

Cum $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă și strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, obținem că $f$ este surjectivă, deci bijectivă **3p**

**2.a)** $\int_1^e x^2 \left(f(x) + \frac{2 \ln x}{x^3}\right) dx = \int_1^e \frac{1}{x} dx = \ln x \bigg _1^e =$ **3p**

$= \ln e - \ln 1 = 1$ **2p**

**b)** $\int_1^{\sqrt{5}} x \cdot f(x^2 + 3) dx = \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{5}} (x^2 + 3)' \cdot f(x^2 + 3) dx = \frac{1}{2} F(x^2 + 3) \bigg _1^{\sqrt{5}} =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \left(\frac{\ln 8}{64} - \frac{\ln 4}{16}\right) = -\frac{5 \ln 2}{128}$ **2p**

**c)** $\int_e^{e^2} x F(x) dx = \int_e^{e^2} \frac{\ln x}{x} dx = \frac{\ln^2 x}{2} \bigg _e^{e^2} = \frac{\ln^2(e^2) - \ln^2 e}{2} = \frac{3}{2}$ **3p**

$\frac{a^2 - 1}{2} = \frac{3}{2}$, de unde obținem $a = -2$ sau $a = 2$ **2p**

***