**Examenul de bacalaureat național 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Simulare**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1 = 3$ și $r = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (1-2a)x + 1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1) = f(-1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1 + \log_2(2x+1) = \log_2 4$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(-3,2)$ și $C(5,2)$. Determinați lungimea medianei triunghiului $ABC$ construită din vârful $A$.

**5p** **6.** Calculați $\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ - 3 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = -\frac{(x-1)(y-1)}{3} + 1$.

**5p** **1.** Arătați că $3 * 4 = -1$.

**5p** **2.** Verificați dacă $e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **3.** Determinați numărul real $a$ pentru care $a * 7 = 5$.

**5p** **4.** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x * (1+x) \ge -3$.

**5p** **5.** Determinați cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n * n * n \le n$.

**5p** **6.** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m * n = -1$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A) = -7$.

**5p** **2.** Arătați că $\det(A + xI_2) \ge -7$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Determinați numărul real $a$ pentru care $A \cdot A = aI_2$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det(mA - I_2) = m \cdot \det(A + I_2)$.

**5p** **5.** Se consideră matricea $M = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $A \cdot M = M \cdot A$. Arătați că $y = 0$.

**5p** **6.** Determinați pentru câte valori întregi ale lui $a$ obținem $\det(aA) \ge -28$.

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare