**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_3 = a_1 + 2r$ **2p**

$a_3 = 7$, $S_3 = \dfrac{(a_1 + a_3) \cdot 3}{2} = 15$ **3p**

**2.** $f(1) = 2 - 2a$, $f(-1) = 2a$ **2p**

$2 - 2a = 2a \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$ **3p**

**3.** $1 + \log_2(2x + 1) = 2$ **2p**

$\log_2(2x + 1) = 1 \Rightarrow 2x + 1 = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$, care convine **3p**

**4.** Numerele naturale de o cifră, pătrate perfecte sunt: $0, 1, 4, 9$, deci sunt patru cazuri favorabile **2p**

Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, 2, \dots, 9$, deci sunt zece cazuri posibile **2p**

$P = \dfrac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}} = \dfrac{2}{5}$ **1p**

**5.** $AM$ mediană $\Rightarrow M$ mijlocul laturii $BC \Rightarrow x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} = 1$, $y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2} = 2$ **2p**

$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{4} = 2$ **3p**

**6.** $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $3 * 4 = -\dfrac{(3 - 1) \cdot (4 - 1)}{3} + 1 =$ **2p**

$= -\dfrac{2 \cdot 3}{3} + 1 = -2 + 1 = -1$ **3p**

**2.** $x * (-2) = -\dfrac{(x - 1) \cdot (-3)}{3} + 1 = x - 1 + 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$(-2) * x = -\dfrac{(-2 - 1) \cdot (x - 1)}{3} + 1 = x - 1 + 1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**3.** $-\dfrac{(a - 1) \cdot (7 - 1)}{3} + 1 = 5$ **2p**

$-(a - 1) \cdot 2 + 1 = 5$, de unde obținem $a = -1$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Simulare

**4.** $x * (1+x) = -\frac{(x-1) \cdot (1+x-1)}{3} + 1 = -\frac{x(x-1)}{3} + 1$ **2p**

$-\frac{x(x-1)}{3} + 1 \ge -3$, deci $x^2 - x - 12 \le 0$, de unde obținem $x \in [-3, 4]$ **3p**

**5.** $n * n = -\frac{(n-1)^2}{3} + 1$, $n * n * n = (n * n) * n = \left( -\frac{(n-1)^2}{3} + 1 \right) * n = \frac{(n-1)^3}{9} + 1$ **3p**

$\frac{(n-1)(n-4)(n+2)}{9} \le 0$, $n$ număr natural $\Rightarrow n=4$ este cel mai mare număr natural căutat **2p**

**6.** $-\frac{(m-1)(n-1)}{3} + 1 = -1 \Rightarrow (m-1)(n-1) = 6$ **2p**

Perechile $(m, n)$ de numere naturale sunt: $(2, 7); (3, 4); (4, 3); (7, 2)$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3 =$ **3p**

$= -4 - 3 = -7$ **2p**

**2.** $A + xI_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+x & 3 \\ 1 & -2+x \end{pmatrix}$ **2p**

$\det(A + xI_2) = x^2 - 7$, deci $x^2 - 7 \ge -7 \Leftrightarrow x^2 \ge 0$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**3.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$, $aI_2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ **3p**

$\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \Rightarrow a = 7$ **2p**

**4.** $\det(mA - I_2) = 1 - 7m^2$, $\det(A + I_2) = -6$ **2p**

$7m^2 - 6m - 1 = 0$, de unde obținem $m = -\frac{1}{7}$ sau $m = 1$ **3p**

**5.** $A \cdot M = \begin{pmatrix} 2x+3y & 3x+2y \\ x-2y & -2x+y \end{pmatrix}$, $M \cdot A = \begin{pmatrix} 2x+y & 3x-2y \\ x+2y & -2x+3y \end{pmatrix}$ **3p**

$2x+3y = 2x+y \Rightarrow y = 0$ care verifică **2p**

**6.** $\det(aA) = -7a^2$ **2p**

$-7a^2 \ge -28 \Rightarrow a^2 \le 4$, și cum $a \in \mathbb{Z}$, obținem $a = -2$, $a = -1$, $a = 0$, $a = 1$ sau $a = 2$ deci $a$ poate avea 5 valori **3p**

***

Simulare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare